代数例

$\log_{3} (5) + 2 \log_{3} (x) = \log_{3} (125)$

ステップ 1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\log_{3} (5) + 2 \log_{3} (x) - \log_{3} (125) = 0$

ステップ 2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$2 \log_{3} (x) + \log_{3} (\frac{5}{125}) = 0$

ステップ 3

$5$ と $125$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$2 \log_{3} (x) + \log_{3} (\frac{5 (1)}{125}) = 0$

ステップ 3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

$5$ を $125$ で因数分解します。

$2 \log_{3} (x) + \log_{3} (\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 25}) = 0$

ステップ 3.2.2

共通因数を約分します。

$2 \log_{3} (x) + \log_{3} (\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 25}) = 0$

ステップ 3.2.3

式を書き換えます。

$2 \log_{3} (x) + \log_{3} (\frac{1}{25}) = 0$

ステップ 4

左辺を簡約します。

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ステップ 4.1

$2 \log_{3} (x) + \log_{3} (\frac{1}{25})$ を簡約します。

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ステップ 4.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \log_{3} (x)$ を簡約します。

$\log_{3} (x^{2}) + \log_{3} (\frac{1}{25}) = 0$

ステップ 4.1.2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\log_{3} (x^{2} \frac{1}{25}) = 0$

ステップ 4.1.3

$x^{2}$ と $\frac{1}{25}$ をまとめます。

$\log_{3} (\frac{x^{2}}{25}) = 0$

ステップ 5

対数の定義を利用して $\log_{3} (\frac{x^{2}}{25}) = 0$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$3^{0} = \frac{x^{2}}{25}$

ステップ 6

$x$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式を $\frac{x^{2}}{25} = 3^{0}$ として書き換えます。

$\frac{x^{2}}{25} = 3^{0}$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $25$ を掛けます。

$25 \frac{x^{2}}{25} = 25 \cdot 3^{0}$

ステップ 6.3

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1.1

$25$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$25 \frac{x^{2}}{25} = 25 \cdot 3^{0}$

ステップ 6.3.1.1.2

式を書き換えます。

$x^{2} = 25 \cdot 3^{0}$

ステップ 6.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

$25 \cdot 3^{0}$ を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$x^{2} = 25 \cdot 1$

ステップ 6.3.2.1.2

$25$ に $1$ をかけます。

$x^{2} = 25$

ステップ 6.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{25}$

ステップ 6.5

$\pm \sqrt{25}$ を簡約します。

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ステップ 6.5.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

ステップ 6.5.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 5$

ステップ 6.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 6.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 5$

ステップ 6.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 5$

ステップ 6.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 5, - 5$

ステップ 7

$\log_{3} (5) + 2 \log_{3} (x) = \log_{3} (125)$ が真にならない解を除外します。

$x = 5$

代数 例

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