代数例

$\ln (3 x) + \ln (2 x) = 3$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (3 x (2 x)) = 3$

ステップ 1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\ln (3 \cdot (2 x \cdot x)) = 3$

ステップ 1.3

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.3.1

$x$ を移動させます。

$\ln (3 \cdot (2 (x \cdot x))) = 3$

ステップ 1.3.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\ln (3 \cdot (2 x^{2})) = 3$

ステップ 1.4

$3$ に $2$ をかけます。

$\ln (6 x^{2}) = 3$

ステップ 2

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (6 x^{2})} = e^{3}$

ステップ 3

対数の定義を利用して $\ln (6 x^{2}) = 3$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{3} = 6 x^{2}$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $6 x^{2} = e^{3}$ として書き換えます。

$6 x^{2} = e^{3}$

ステップ 4.2

$6 x^{2} = e^{3}$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.2.1

$6 x^{2} = e^{3}$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{e^{3}}{6}$

ステップ 4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{e^{3}}{6}$

ステップ 4.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{e^{3}}{6}$

ステップ 4.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{\frac{e^{3}}{6}}$

ステップ 4.4

$\pm \sqrt{\frac{e^{3}}{6}}$ を簡約します。

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ステップ 4.4.1

$\sqrt{\frac{e^{3}}{6}}$ を $\frac{\sqrt{e^{3}}}{\sqrt{6}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{e^{3}}}{\sqrt{6}}$

ステップ 4.4.2

分子を簡約します。

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ステップ 4.4.2.1

$e^{2}$ を因数分解します。

$x = \pm \frac{\sqrt{e^{2} e}}{\sqrt{6}}$

ステップ 4.4.2.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm \frac{e \sqrt{e}}{\sqrt{6}}$

ステップ 4.4.3

$\frac{e \sqrt{e}}{\sqrt{6}}$ に $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{e \sqrt{e}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

ステップ 4.4.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 4.4.4.1

$\frac{e \sqrt{e}}{\sqrt{6}}$ に $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

ステップ 4.4.4.2

$\sqrt{6}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

ステップ 4.4.4.3

$\sqrt{6}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

ステップ 4.4.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

ステップ 4.4.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

ステップ 4.4.4.6

${\sqrt{6}}^{2}$ を $6$ に書き換えます。

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ステップ 4.4.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{6}$ を $6^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.4.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.4.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.4.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.4.4.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{6^{1}}$

ステップ 4.4.4.6.5

指数を求めます。

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{6}$

ステップ 4.4.5

根の積の法則を使ってまとめます。

$x = \pm \frac{e \sqrt{6 e}}{6}$

ステップ 4.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 4.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{e \sqrt{6 e}}{6}$

ステップ 4.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{e \sqrt{6 e}}{6}$

ステップ 4.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{e \sqrt{6 e}}{6}, - \frac{e \sqrt{6 e}}{6}$

ステップ 5

$\ln (3 x) + \ln (2 x) = 3$ が真にならない解を除外します。

$x = \frac{e \sqrt{6 e}}{6}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \frac{e \sqrt{6 e}}{6}$

10進法形式：

$x = 1.82964190 \dots$

代数 例

代数例