代数例

$f (x) = 12 \cdot 11^{3 x} + 13$

ステップ 1

$f (x) = 12 \cdot 11^{3 x} + 13$ を方程式で書きます。

$y = 12 \cdot 11^{3 x} + 13$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 12 \cdot 11^{3 y} + 13$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $12 \cdot 11^{3 y} + 13 = x$ として書き換えます。

$12 \cdot 11^{3 y} + 13 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $13$ を引きます。

$12 \cdot 11^{3 y} = x - 13$

ステップ 3.3

$12 \cdot 11^{3 y} = x - 13$ の各項を $12$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.1

$12 \cdot 11^{3 y} = x - 13$ の各項を $12$ で割ります。

$\frac{12 \cdot 11^{3 y}}{12} = \frac{x}{12} + \frac{- 13}{12}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{12 \cdot 11^{3 y}}{12} = \frac{x}{12} + \frac{- 13}{12}$

ステップ 3.3.2.1.2

$11^{3 y}$ を $1$ で割ります。

$11^{3 y} = \frac{x}{12} + \frac{- 13}{12}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$11^{3 y} = \frac{x}{12} - \frac{13}{12}$

ステップ 3.4

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (11^{3 y}) = \ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})$

ステップ 3.5

$3 y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (11^{3 y})$ を展開します。

$3 y \ln (11) = \ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})$

ステップ 3.6

$3 y \ln (11) = \ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})$ の各項を $3 \ln (11)$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.6.1

$3 y \ln (11) = \ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})$ の各項を $3 \ln (11)$ で割ります。

$\frac{3 y \ln (11)}{3 \ln (11)} = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

ステップ 3.6.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y \ln (11)}{3 \ln (11)} = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

ステップ 3.6.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y \ln (11)}{\ln (11)} = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

ステップ 3.6.2.2

$\ln (11)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \ln (11)}{\ln (11)} = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

ステップ 3.6.2.2.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$ が $f (x) = 12 \cdot 11^{3 x} + 13$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (\frac{12 \cdot 11^{3 x} + 13}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

ステップ 5.2.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (\frac{12 \cdot 11^{3 x} + 13 - 13}{12})}{3 \ln (11)}$

ステップ 5.2.3.2

$12 \cdot 11^{3 x} + 13 - 13$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.3.2.1

$13$ から $13$ を引きます。

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (\frac{12 \cdot 11^{3 x} + 0}{12})}{3 \ln (11)}$

ステップ 5.2.3.2.2

$12 \cdot 11^{3 x}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (\frac{12 \cdot 11^{3 x}}{12})}{3 \ln (11)}$

ステップ 5.2.3.3

$12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.3.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (\frac{12 \cdot 11^{3 x}}{12})}{3 \ln (11)}$

ステップ 5.2.3.3.2

$11^{3 x}$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (11^{3 x})}{3 \ln (11)}$

ステップ 5.2.4

対数の中の $3$ を移動させて $3 \ln (11)$ を簡約します。

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (11^{3 x})}{\ln (11^{3})}$

ステップ 5.2.5

$11$ を $3$ 乗します。

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (11^{3 x})}{\ln (1331)}$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)})$ の値を求めます。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{3 (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)})} + 13$

ステップ 5.3.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{3 (\frac{\ln (\frac{x - 13}{12})}{3 \ln (11)})} + 13$

ステップ 5.3.3.2

対数の中の $3$ を移動させて $3 \ln (11)$ を簡約します。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{3 (\frac{\ln (\frac{x - 13}{12})}{\ln (11^{3})})} + 13$

ステップ 5.3.3.3

$11$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{3 (\frac{\ln (\frac{x - 13}{12})}{\ln (1331)})} + 13$

ステップ 5.3.3.4

$3 \frac{\ln (\frac{x - 13}{12})}{\ln (1331)}$ を掛けます。

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ステップ 5.3.3.4.1

$3$ と $\frac{\ln (\frac{x - 13}{12})}{\ln (1331)}$ をまとめます。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{\frac{3 \ln (\frac{x - 13}{12})}{\ln (1331)}} + 13$

ステップ 5.3.3.4.2

対数の中の $3$ を移動させて $3 \ln (\frac{x - 13}{12})$ を簡約します。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{\frac{\ln ({(\frac{x - 13}{12})}^{3})}{\ln (1331)}} + 13$

ステップ 5.3.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.3.5.1

積の法則を $\frac{x - 13}{12}$ に当てはめます。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{\frac{\ln (\frac{{(x - 13)}^{3}}{12^{3}})}{\ln (1331)}} + 13$

ステップ 5.3.3.5.2

$12$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{\frac{\ln (\frac{{(x - 13)}^{3}}{1728})}{\ln (1331)}} + 13$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$ は $f (x) = 12 \cdot 11^{3 x} + 13$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

代数 例

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