代数例

$\frac{x - 1}{x^{2} + x - 6} - \frac{x - 2}{x^{2} + 4 x + 3}$

ステップ 1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 4 x + 3$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $3$ で、その和が $4$ です。

$1, 3$

ステップ 1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{x - 1}{x^{2} + x - 6} - \frac{x - 2}{(x + 1) (x + 3)}$

ステップ 2

$\frac{x - 1}{x^{2} + x - 6}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{(x + 1) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)}$ を掛けます。

$\frac{x - 1}{x^{2} + x - 6} \cdot \frac{(x + 1) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} - \frac{x - 2}{(x + 1) (x + 3)}$

ステップ 3

$- \frac{x - 2}{(x + 1) (x + 3)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} + x - 6}$ を掛けます。

$\frac{x - 1}{x^{2} + x - 6} \cdot \frac{(x + 1) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} - \frac{x - 2}{(x + 1) (x + 3)} \cdot \frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} + x - 6}$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x^{2} + x - 6) (x + 1) (x + 3)$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\frac{x - 1}{x^{2} + x - 6}$ に $\frac{(x + 1) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)}$ をかけます。

$\frac{(x - 1) ((x + 1) (x + 3))}{(x^{2} + x - 6) ((x + 1) (x + 3))} - \frac{x - 2}{(x + 1) (x + 3)} \cdot \frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} + x - 6}$

ステップ 4.2

$\frac{x - 2}{(x + 1) (x + 3)}$ に $\frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} + x - 6}$ をかけます。

$\frac{(x - 1) ((x + 1) (x + 3))}{(x^{2} + x - 6) ((x + 1) (x + 3))} - \frac{(x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

ステップ 4.3

$(x^{2} + x - 6) ((x + 1) (x + 3))$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(x - 1) ((x + 1) (x + 3))}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)} - \frac{(x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(x - 1) ((x + 1) (x + 3)) - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

ステップ 6

因数分解した形で $\frac{(x - 1) ((x + 1) (x + 3)) - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (x + 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(x - 1) (x (x + 3) + 1 (x + 3)) - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

ステップ 6.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{(x - 1) (x \cdot x + x \cdot 3 + 1 (x + 3)) - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

ステップ 6.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{(x - 1) (x \cdot x + x \cdot 3 + 1 x + 1 \cdot 3) - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

ステップ 6.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 3 + 1 x + 1 \cdot 3) - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

ステップ 6.2.1.2

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{(x - 1) (x^{2} + 3 x + 1 x + 1 \cdot 3) - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

ステップ 6.2.1.3

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x - 1) (x^{2} + 3 x + x + 1 \cdot 3) - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

ステップ 6.2.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x - 1) (x^{2} + 3 x + x + 3) - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

ステップ 6.2.2

$3 x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{(x - 1) (x^{2} + 4 x + 3) - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

ステップ 6.3

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(x - 1) (x^{2} + 4 x + 3)$ を展開します。

$\frac{x \cdot x^{2} + x (4 x) + x \cdot 3 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

ステップ 6.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1.1

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{1} x^{2} + x (4 x) + x \cdot 3 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

ステップ 6.4.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{1 + 2} + x (4 x) + x \cdot 3 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

ステップ 6.4.1.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{x^{3} + x (4 x) + x \cdot 3 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

ステップ 6.4.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{x^{3} + 4 x \cdot x + x \cdot 3 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

ステップ 6.4.3

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.3.1

$x$ を移動させます。

$\frac{x^{3} + 4 (x \cdot x) + x \cdot 3 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

ステップ 6.4.3.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + x \cdot 3 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

ステップ 6.4.4

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

ステップ 6.4.5

$- 1 x^{2}$ を $- x^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

ステップ 6.4.6

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - x^{2} - 4 x - 1 \cdot 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

ステップ 6.4.7

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - x^{2} - 4 x - 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

ステップ 6.5

$4 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 4 x - 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

ステップ 6.6

$3 x$ から $4 x$ を引きます。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

ステップ 6.7

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 + (- x - - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

ステップ 6.8

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 + (- x + 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

ステップ 6.9

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(- x + 2) (x^{2} + x - 6)$ を展開します。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 - x \cdot x^{2} - x \cdot x - x \cdot - 6 + 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 6}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

ステップ 6.10

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.10.1

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.10.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 - (x^{2} x) - x \cdot x - x \cdot - 6 + 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 6}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

ステップ 6.10.1.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.10.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 - (x^{2} x^{1}) - x \cdot x - x \cdot - 6 + 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 6}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

ステップ 6.10.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 - x^{2 + 1} - x \cdot x - x \cdot - 6 + 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 6}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

ステップ 6.10.1.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 - x^{3} - x \cdot x - x \cdot - 6 + 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 6}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

ステップ 6.10.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.10.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 - x^{3} - (x \cdot x) - x \cdot - 6 + 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 6}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

ステップ 6.10.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 - x^{3} - x^{2} - x \cdot - 6 + 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 6}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

ステップ 6.10.3

$- 6$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 - x^{3} - x^{2} + 6 x + 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 6}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

ステップ 6.10.4

$2$ に $- 6$ をかけます。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 - x^{3} - x^{2} + 6 x + 2 x^{2} + 2 x - 12}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

ステップ 6.11

$- x^{2}$ と $2 x^{2}$ をたし算します。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 - x^{3} + x^{2} + 6 x + 2 x - 12}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

ステップ 6.12

$6 x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 - x^{3} + x^{2} + 8 x - 12}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

ステップ 6.13

$x^{3}$ から $x^{3}$ を引きます。

$\frac{3 x^{2} - x - 3 + 0 + x^{2} + 8 x - 12}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

ステップ 6.14

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3 x^{2} - x - 3 + x^{2} + 8 x - 12}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

ステップ 6.15

$3 x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$\frac{4 x^{2} - x - 3 + 8 x - 12}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

ステップ 6.16

$- x$ と $8 x$ をたし算します。

$\frac{4 x^{2} + 7 x - 3 - 12}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

ステップ 6.17

$- 3$ から $12$ を引きます。

$\frac{4 x^{2} + 7 x - 15}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

ステップ 6.18

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.18.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 4 \cdot - 15 = - 60$ で和が $b = 7$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.18.1.1

$7$ を $7 x$ で因数分解します。

$\frac{4 x^{2} + 7 (x) - 15}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

ステップ 6.18.1.2

$7$ を $- 5$ プラス $12$ に書き換える

$\frac{4 x^{2} + (- 5 + 12) x - 15}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

ステップ 6.18.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{4 x^{2} - 5 x + 12 x - 15}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

ステップ 6.18.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.18.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{(4 x^{2} - 5 x) + 12 x - 15}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

ステップ 6.18.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{x (4 x - 5) + 3 (4 x - 5)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

ステップ 6.18.3

最大公約数 $4 x - 5$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{(4 x - 5) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

ステップ 6.19

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.19.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + x - 6$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.19.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 6$ で、その和が $1$ です。

$- 2, 3$

ステップ 6.19.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(4 x - 5) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3) ((x - 2) (x + 3))}$

ステップ 6.19.2

不要な括弧を削除します。

$\frac{(4 x - 5) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2) (x + 3)}$

ステップ 6.20

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.20.1

$x + 3$ を $1$ 乗します。

$\frac{(4 x - 5) (x + 3)}{(x + 1) ({(x + 3)}^{1} (x + 3)) (x - 2)}$

ステップ 6.20.2

$x + 3$ を $1$ 乗します。

$\frac{(4 x - 5) (x + 3)}{(x + 1) ({(x + 3)}^{1} {(x + 3)}^{1}) (x - 2)}$

ステップ 6.20.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(4 x - 5) (x + 3)}{(x + 1) {(x + 3)}^{1 + 1} (x - 2)}$

ステップ 6.20.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{(4 x - 5) (x + 3)}{(x + 1) {(x + 3)}^{2} (x - 2)}$

ステップ 6.21

今日数因数で約分することで式 $\frac{(4 x - 5) (x + 3)}{(x + 1) {(x + 3)}^{2} (x - 2)}$ を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.21.1

$x + 3$ を $(4 x - 5) (x + 3)$ で因数分解します。

$\frac{(x + 3) (4 x - 5)}{(x + 1) {(x + 3)}^{2} (x - 2)}$

ステップ 6.21.2

$x + 3$ を $(x + 1) {(x + 3)}^{2} (x - 2)$ で因数分解します。

$\frac{(x + 3) (4 x - 5)}{(x + 3) (((x + 1) (x + 3)) (x - 2))}$

ステップ 6.21.3

共通因数を約分します。

$\frac{(x + 3) (4 x - 5)}{(x + 3) (((x + 1) (x + 3)) (x - 2))}$

ステップ 6.21.4

式を書き換えます。

$\frac{4 x - 5}{((x + 1) (x + 3)) (x - 2)}$

代数 例

代数例