代数例

$f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ on the domain $x > 0$

ステップ 1

与えられた関数の値域を求めます。

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ステップ 1.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 1.2

$(- \infty, \infty)$ を不等式に変換します。

$- \infty < y < \infty$

ステップ 2

逆を求めます。

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ステップ 2.1

変数を入れ替えます。

$x = {(3 y)}^{- \frac{2}{3}}$

ステップ 2.2

$y$ について解きます。

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ステップ 2.2.1

方程式を ${(3 y)}^{- \frac{2}{3}} = x$ として書き換えます。

${(3 y)}^{- \frac{2}{3}} = x$

ステップ 2.2.2

方程式の両辺を $- \frac{3}{2}$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${({(3 y)}^{- \frac{2}{3}})}^{- \frac{3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

ステップ 2.2.3

指数を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1.1

${({(3 y)}^{- \frac{2}{3}})}^{- \frac{3}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1.1.1

${({(3 y)}^{- \frac{2}{3}})}^{- \frac{3}{2}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.3.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(3 y)}^{- \frac{2}{3} (- \frac{3}{2})} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

ステップ 2.2.3.1.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.1.1.1.2.1

$- \frac{2}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

${(3 y)}^{\frac{- 2}{3} (- \frac{3}{2})} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

ステップ 2.2.3.1.1.1.2.2

$- \frac{3}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

${(3 y)}^{\frac{- 2}{3} \cdot \frac{- 3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

ステップ 2.2.3.1.1.1.2.3

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

${(3 y)}^{\frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

ステップ 2.2.3.1.1.1.2.4

共通因数を約分します。

${(3 y)}^{\frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

ステップ 2.2.3.1.1.1.2.5

式を書き換えます。

${(3 y)}^{\frac{- 1}{3} \cdot - 3} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

ステップ 2.2.3.1.1.1.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.1.1.1.3.1

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

${(3 y)}^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 1))} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

ステップ 2.2.3.1.1.1.3.2

共通因数を約分します。

${(3 y)}^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

ステップ 2.2.3.1.1.1.3.3

式を書き換えます。

${(3 y)}^{- - 1} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

ステップ 2.2.3.1.1.1.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

${(3 y)}^{1} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

ステップ 2.2.3.1.1.2

簡約します。

$3 y = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

ステップ 2.2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$3 y = \pm \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$3 y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.2.4.2

$3 y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.4.2.1

$3 y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 y}{3} = \frac{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

ステップ 2.2.4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.4.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y}{3} = \frac{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

ステップ 2.2.4.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

ステップ 2.2.4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 2.2.4.2.3.2

まとめる。

$y = \frac{1 \cdot 1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}$

ステップ 2.2.4.2.3.3

式を簡約します。

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ステップ 2.2.4.2.3.3.1

$1$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}$

ステップ 2.2.4.2.3.3.2

$3$ を $x^{\frac{3}{2}}$ の左に移動させます。

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.2.4.3

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$3 y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.2.4.4

$3 y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.4.4.1

$3 y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 y}{3} = \frac{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

ステップ 2.2.4.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.4.4.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y}{3} = \frac{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

ステップ 2.2.4.4.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

ステップ 2.2.4.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.4.4.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 2.2.4.4.3.2

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ をかけます。

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.2.4.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.3

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3

定義域と元の関数の値域を利用して逆を求めます。

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \infty < x < \infty$

ステップ 4

代数 例

代数例