代数例

$\frac{x^{2} + 4 x - 3}{x^{2} + 1} < x$

ステップ 1

不等式の両辺から $x$ を引きます。

$\frac{x^{2} + 4 x - 3}{x^{2} + 1} - x < 0$

ステップ 2

$\frac{x^{2} + 4 x - 3}{x^{2} + 1} - x$ を簡約します。

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ステップ 2.1

$- x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ を掛けます。

$\frac{x^{2} + 4 x - 3}{x^{2} + 1} - x \cdot \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} < 0$

ステップ 2.2

$- x$ と $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} + 4 x - 3}{x^{2} + 1} + \frac{- x (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} < 0$

ステップ 2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - x (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} < 0$

ステップ 2.4

分子を簡約します。

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ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - x \cdot x^{2} - x \cdot 1}{x^{2} + 1} < 0$

ステップ 2.4.2

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.4.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - (x^{2} x) - x \cdot 1}{x^{2} + 1} < 0$

ステップ 2.4.2.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 2.4.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - (x^{2} x^{1}) - x \cdot 1}{x^{2} + 1} < 0$

ステップ 2.4.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - x^{2 + 1} - x \cdot 1}{x^{2} + 1} < 0$

ステップ 2.4.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - x^{3} - x \cdot 1}{x^{2} + 1} < 0$

ステップ 2.4.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - x^{3} - x}{x^{2} + 1} < 0$

ステップ 2.4.4

$4 x$ から $x$ を引きます。

$\frac{x^{2} + 3 x - 3 - x^{3}}{x^{2} + 1} < 0$

ステップ 2.4.5

項を並べ替えます。

$\frac{- x^{3} + x^{2} + 3 x - 3}{x^{2} + 1} < 0$

ステップ 2.4.6

因数分解した形で $- x^{3} + x^{2} + 3 x - 3$ を書き換えます。

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ステップ 2.4.6.1

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.4.6.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{(- x^{3} + x^{2}) + 3 x - 3}{x^{2} + 1} < 0$

ステップ 2.4.6.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{x^{2} (- x + 1) - 3 (- x + 1)}{x^{2} + 1} < 0$

ステップ 2.4.6.2

最大公約数 $- x + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{(- x + 1) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

ステップ 2.5

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{(- (x) + 1) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

ステップ 2.6

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{(- (x) - 1 (- 1)) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

ステップ 2.7

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{- (x - 1) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

ステップ 2.8

$- (x - 1)$ を $- 1 (x - 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x - 1) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

ステップ 2.9

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{(x - 1) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

ステップ 3

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x - 1 = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

ステップ 4

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 5

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x^{2} = 3$

ステップ 6

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{3}$

ステップ 7

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 7.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{3}$

ステップ 7.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{3}$

ステップ 7.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

ステップ 8

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x^{2} = - 1$

ステップ 9

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- 1}$

ステップ 10

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i$

ステップ 11

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 11.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = i$

ステップ 11.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - i$

ステップ 11.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = i, - i$

ステップ 12

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 1$

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = i, - i$

ステップ 13

解をまとめます。

$x = 1, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

ステップ 14

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - \sqrt{3}$

$- \sqrt{3} < x < 1$

$1 < x < \sqrt{3}$

$x > \sqrt{3}$

ステップ 15

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 15.1

区間 $x < - \sqrt{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 15.1.1

区間 $x < - \sqrt{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 15.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$\frac{{(- 4)}^{2} + 4 (- 4) - 3}{{(- 4)}^{2} + 1} < - 4$

ステップ 15.1.3

左辺 $- 0.17647058$ は右辺 $- 4$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 15.2

区間 $- \sqrt{3} < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 15.2.1

区間 $- \sqrt{3} < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 15.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{{(0)}^{2} + 4 (0) - 3}{{(0)}^{2} + 1} < 0$

ステップ 15.2.3

左辺 $- 3$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 15.3

区間 $1 < x < \sqrt{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 15.3.1

区間 $1 < x < \sqrt{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 1.37$

ステップ 15.3.2

$x$ を元の不等式の $1.37$ で置き換えます。

$\frac{{(1.37)}^{2} + 4 (1.37) - 3}{{(1.37)}^{2} + 1} < 1.37$

ステップ 15.3.3

左辺 $1.51444262$ は右辺 $1.37$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 15.4

区間 $x > \sqrt{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 15.4.1

区間 $x > \sqrt{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 15.4.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\frac{{(4)}^{2} + 4 (4) - 3}{{(4)}^{2} + 1} < 4$

ステップ 15.4.3

左辺 $1.70588235$ は右辺 $4$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 15.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - \sqrt{3}$ 偽

$- \sqrt{3} < x < 1$ 真

$1 < x < \sqrt{3}$ 偽

$x > \sqrt{3}$ 真

$x < - \sqrt{3}$ 偽

$- \sqrt{3} < x < 1$ 真

$1 < x < \sqrt{3}$ 偽

$x > \sqrt{3}$ 真

ステップ 16

解はすべての真の区間からなります。

$- \sqrt{3} < x < 1$ または $x > \sqrt{3}$

ステップ 17

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$- \sqrt{3} < x < 1 or x > \sqrt{3}$

区間記号：

$(- \sqrt{3}, 1) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

ステップ 18

代数 例

代数例