代数例

$\tan (2 θ) + \tan (θ) = 0$

ステップ 1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

正切2倍角の公式を当てはめます。

$\frac{2 \tan (θ)}{1 - \tan^{2} (θ)} + \tan (θ) = 0$

ステップ 1.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2 \tan (θ)}{1^{2} - \tan^{2} (θ)} + \tan (θ) = 0$

ステップ 1.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \tan (θ)$ です。

$\frac{2 \tan (θ)}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + \tan (θ) = 0$

ステップ 2

$\tan (θ)$ を $\frac{2 \tan (θ)}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + \tan (θ)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\tan (θ)$ を $\frac{2 \tan (θ)}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))}$ で因数分解します。

$\tan (θ) \frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + \tan (θ) = 0$

ステップ 2.2

$\tan (θ)$ を $1$ 乗します。

$\tan (θ) \frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + \tan (θ) = 0$

ステップ 2.3

$\tan (θ)$ を $\tan^{1} (θ)$ で因数分解します。

$\tan (θ) \frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + \tan (θ) \cdot 1 = 0$

ステップ 2.4

$\tan (θ)$ を $\tan (θ) \frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + \tan (θ) \cdot 1$ で因数分解します。

$\tan (θ) (\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\tan (θ) = 0$

$\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1 = 0$

ステップ 4

$\tan (θ)$ を $0$ に等しくし、 $θ$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\tan (θ)$ が $0$ に等しいとします。

$\tan (θ) = 0$

ステップ 4.2

$θ$ について $\tan (θ) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arctan (0)$

ステップ 4.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$\arctan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$θ = 0$

ステップ 4.2.3

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$θ = π + 0$

ステップ 4.2.4

$π$ と $0$ をたし算します。

$θ = π$

ステップ 4.2.5

$\tan (θ)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 4.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 4.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 4.2.5.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 4.2.6

$\tan (θ)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$θ = π n, π + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

$\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1$ を $0$ に等しくし、 $θ$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1$ が $0$ に等しいとします。

$\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1 = 0$

ステップ 5.2

$θ$ について $\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)), 1, 1$

ステップ 5.2.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))$

ステップ 5.2.2

$\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1 = 0$ の各項に $(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1 = 0$ の各項に $(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))$ を掛けます。

$\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))) + 1 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

ステップ 5.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1.1

$(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))) + 1 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

ステップ 5.2.2.2.1.1.2

式を書き換えます。

$2 + 1 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

ステップ 5.2.2.2.1.2

$(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))$ に $1$ をかけます。

$2 + (1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

ステップ 5.2.2.2.1.3

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1.3.1

分配則を当てはめます。

$2 + 1 (1 - \tan (θ)) + \tan (θ) (1 - \tan (θ)) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

ステップ 5.2.2.2.1.3.2

分配則を当てはめます。

$2 + 1 \cdot 1 + 1 (- \tan (θ)) + \tan (θ) (1 - \tan (θ)) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

ステップ 5.2.2.2.1.3.3

分配則を当てはめます。

$2 + 1 \cdot 1 + 1 (- \tan (θ)) + \tan (θ) \cdot 1 + \tan (θ) (- \tan (θ)) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

ステップ 5.2.2.2.1.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1.4.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$2 + 1 + 1 (- \tan (θ)) + \tan (θ) \cdot 1 + \tan (θ) (- \tan (θ)) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

ステップ 5.2.2.2.1.4.1.2

$- \tan (θ)$ に $1$ をかけます。

$2 + 1 - \tan (θ) + \tan (θ) \cdot 1 + \tan (θ) (- \tan (θ)) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

ステップ 5.2.2.2.1.4.1.3

$\tan (θ)$ に $1$ をかけます。

$2 + 1 - \tan (θ) + \tan (θ) + \tan (θ) (- \tan (θ)) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

ステップ 5.2.2.2.1.4.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 + 1 - \tan (θ) + \tan (θ) - \tan (θ) \tan (θ) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

ステップ 5.2.2.2.1.4.1.5

指数を足して $\tan (θ)$ に $\tan (θ)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1.4.1.5.1

$\tan (θ)$ を移動させます。

$2 + 1 - \tan (θ) + \tan (θ) - (\tan (θ) \tan (θ)) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

ステップ 5.2.2.2.1.4.1.5.2

$\tan (θ)$ に $\tan (θ)$ をかけます。

$2 + 1 - \tan (θ) + \tan (θ) - \tan^{2} (θ) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

ステップ 5.2.2.2.1.4.2

$- \tan (θ)$ と $\tan (θ)$ をたし算します。

$2 + 1 + 0 - \tan^{2} (θ) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

ステップ 5.2.2.2.1.4.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$2 + 1 - \tan^{2} (θ) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

ステップ 5.2.2.2.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

ステップ 5.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.3.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.3.1.1

分配則を当てはめます。

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 (1 - \tan (θ)) + \tan (θ) (1 - \tan (θ)))$

ステップ 5.2.2.3.1.2

分配則を当てはめます。

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (θ)) + \tan (θ) (1 - \tan (θ)))$

ステップ 5.2.2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (θ)) + \tan (θ) \cdot 1 + \tan (θ) (- \tan (θ)))$

ステップ 5.2.2.3.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.3.2.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 + 1 (- \tan (θ)) + \tan (θ) \cdot 1 + \tan (θ) (- \tan (θ)))$

ステップ 5.2.2.3.2.1.2

$- \tan (θ)$ に $1$ をかけます。

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 - \tan (θ) + \tan (θ) \cdot 1 + \tan (θ) (- \tan (θ)))$

ステップ 5.2.2.3.2.1.3

$\tan (θ)$ に $1$ をかけます。

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 - \tan (θ) + \tan (θ) + \tan (θ) (- \tan (θ)))$

ステップ 5.2.2.3.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 - \tan (θ) + \tan (θ) - \tan (θ) \tan (θ))$

ステップ 5.2.2.3.2.1.5

指数を足して $\tan (θ)$ に $\tan (θ)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.3.2.1.5.1

$\tan (θ)$ を移動させます。

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 - \tan (θ) + \tan (θ) - (\tan (θ) \tan (θ)))$

ステップ 5.2.2.3.2.1.5.2

$\tan (θ)$ に $\tan (θ)$ をかけます。

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 - \tan (θ) + \tan (θ) - \tan^{2} (θ))$

ステップ 5.2.2.3.2.2

$- \tan (θ)$ と $\tan (θ)$ をたし算します。

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 + 0 - \tan^{2} (θ))$

ステップ 5.2.2.3.2.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 - \tan^{2} (θ))$

ステップ 5.2.2.3.3

$0$ に $1 - \tan^{2} (θ)$ をかけます。

$3 - \tan^{2} (θ) = 0$

ステップ 5.2.3

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$- \tan^{2} (θ) = - 3$

ステップ 5.2.3.2

$- \tan^{2} (θ) = - 3$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1

$- \tan^{2} (θ) = - 3$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \tan^{2} (θ)}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 5.2.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\tan^{2} (θ)}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 5.2.3.2.2.2

$\tan^{2} (θ)$ を $1$ で割ります。

$\tan^{2} (θ) = \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 5.2.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.3.1

$- 3$ を $- 1$ で割ります。

$\tan^{2} (θ) = 3$

ステップ 5.2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (θ) = \pm \sqrt{3}$

ステップ 5.2.3.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\tan (θ) = \sqrt{3}$

ステップ 5.2.3.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\tan (θ) = - \sqrt{3}$

ステップ 5.2.3.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\tan (θ) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

ステップ 5.2.4

各解を求め、 $θ$ を解きます。

$\tan (θ) = \sqrt{3}$

$\tan (θ) = - \sqrt{3}$

ステップ 5.2.5

$\tan (θ) = \sqrt{3}$ の $θ$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arctan (\sqrt{3})$

ステップ 5.2.5.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.2.1

$\arctan (\sqrt{3})$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$θ = \frac{π}{3}$

ステップ 5.2.5.3

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$θ = π + \frac{π}{3}$

ステップ 5.2.5.4

$π + \frac{π}{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.4.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$θ = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

ステップ 5.2.5.4.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.4.2.1

$π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$θ = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

ステップ 5.2.5.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$θ = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

ステップ 5.2.5.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.4.3.1

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$θ = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

ステップ 5.2.5.4.3.2

$3 π$ と $π$ をたし算します。

$θ = \frac{4 π}{3}$

ステップ 5.2.5.5

$\tan (θ)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.5.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 5.2.5.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.5.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 5.2.5.5.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 5.2.5.6

$\tan (θ)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$θ = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5.2.6

$\tan (θ) = - \sqrt{3}$ の $θ$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arctan (- \sqrt{3})$

ステップ 5.2.6.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.2.1

$\arctan (- \sqrt{3})$ の厳密値は $- \frac{π}{3}$ です。

$θ = - \frac{π}{3}$

ステップ 5.2.6.3

正接関数は、第二象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$θ = - \frac{π}{3} - π$

ステップ 5.2.6.4

式を簡約し、2番目の解を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.4.1

$2 π$ に $- \frac{π}{3} - π$ をたし算します。

$θ = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

ステップ 5.2.6.4.2

$\frac{2 π}{3}$ の結果の角度は正で $- \frac{π}{3} - π$ と隣接します。

$θ = \frac{2 π}{3}$

ステップ 5.2.6.5

$\tan (θ)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.5.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 5.2.6.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.6.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 5.2.6.5.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 5.2.6.6

$π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.6.1

$π$ を $- \frac{π}{3}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{3} + π$

ステップ 5.2.6.6.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 5.2.6.6.3

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.6.3.1

$π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 5.2.6.6.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

ステップ 5.2.6.6.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.6.4.1

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

ステップ 5.2.6.6.4.2

$3 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{2 π}{3}$

ステップ 5.2.6.6.5

新しい角をリストします。

$θ = \frac{2 π}{3}$

ステップ 5.2.6.7

$\tan (θ)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$θ = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5.2.7

すべての解をまとめます。

$θ = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5.2.8

解をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.8.1

$\frac{4 π}{3} + π n$ と $\frac{π}{3} + π n$ を $\frac{π}{3} + π n$ にまとめます。

$θ = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5.2.8.2

$\frac{2 π}{3} + π n$ と $\frac{2 π}{3} + π n$ を $\frac{2 π}{3} + π n$ にまとめます。

$θ = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

最終解は $\tan (θ) (\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$θ = π n, π + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

答えをまとめます。

$θ = \frac{π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

代数 例

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