代数例

$A (t) = 300 t e^{- 2.5 t}$

ステップ 1

式 $300 x e^{- 2.5 x}$ が未定義である場所を求めます。

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 2

垂直漸近線は無限が不連続になる場所で発生します。

垂直漸近線がありません

ステップ 3

$lim_{x \to \infty} 300 x e^{- 2.5 x}$ の値を求め水平漸近線を求めます。

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ステップ 3.1

$300$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$300 lim_{x \to \infty} x e^{- 2.5 x}$

ステップ 3.2

$x e^{- 2.5 x}$ を $\frac{x}{e^{2.5 x}}$ に書き換えます。

$300 lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{2.5 x}}$

ステップ 3.3

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 3.3.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 3.3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$300 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{2.5 x}}$

ステップ 3.3.1.2

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$300 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{2.5 x}}$

ステップ 3.3.1.3

指数 $2.5 x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{2.5 x}$ が $\infty$ に近づきます。

$300 \frac{\infty}{\infty}$

ステップ 3.3.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$300 \frac{\infty}{\infty}$

ステップ 3.3.2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{2.5 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{2.5 x}]}$

ステップ 3.3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.3.3.1

分母と分子を微分します。

$300 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{2.5 x}]}$

ステップ 3.3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{2.5 x}]}$

ステップ 3.3.3.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2.5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2.5 x$ とします。

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2.5 x]}$

ステップ 3.3.3.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [2.5 x]}$

ステップ 3.3.3.3.3

$u$ のすべての発生を $2.5 x$ で置き換えます。

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2.5 x} \frac{d}{d x} [2.5 x]}$

ステップ 3.3.3.4

$2.5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2.5 x$ の微分係数は $2.5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2.5 x} \cdot 2.5 \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2.5 x} \cdot 2.5 \cdot 1}$

ステップ 3.3.3.6

$2.5$ に $1$ をかけます。

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2.5 x} \cdot 2.5}$

ステップ 3.3.3.7

$2.5$ を $e^{2.5 x}$ の左に移動させます。

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2.5 e^{2.5 x}}$

ステップ 3.3.4

$1$ を $1 (1)$ に書き換えます。

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1 (1)}{2.5 e^{2.5 x}}$

ステップ 3.3.5

$2.5$ を $2.5 e^{2.5 x}$ で因数分解します。

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1 (1)}{2.5 (e^{2.5 x})}$

ステップ 3.3.6

分数を分解します。

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2.5} \cdot \frac{1}{e^{2.5 x}}$

ステップ 3.3.7

$1$ を $2.5$ で割ります。

$300 lim_{x \to \infty} 0.4 \frac{1}{e^{2.5 x}}$

ステップ 3.3.8

$0.4$ と $\frac{1}{e^{2.5 x}}$ をまとめます。

$300 lim_{x \to \infty} \frac{0.4}{e^{2.5 x}}$

ステップ 3.4

$0.4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$300 \cdot 0.4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2.5 x}}$

ステップ 3.5

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{e^{2.5 x}}$ は $0$ に近づきます。

$300 \cdot 0.4 \cdot 0$

ステップ 3.6

0を掛けます。

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ステップ 3.6.1

$0.4$ に $0$ をかけます。

$300 \cdot 0$

ステップ 3.6.2

$300$ に $0$ をかけます。

$0$

ステップ 4

水平漸近線のリスト：

$y = 0$

ステップ 5

分子の次数が分母の次数以下なので、斜めの漸近線はありません。

斜めの漸近線がありません

ステップ 6

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線がありません

水平漸近線： $y = 0$

斜めの漸近線がありません

ステップ 7

代数 例

代数例