代数例

$\sqrt{2} - \sqrt{x + 6} \leq - \sqrt{x}$

ステップ 1

不等式の両辺から $\sqrt{2}$ を引きます。

$- \sqrt{x + 6} \leq - \sqrt{x} - \sqrt{2}$

ステップ 2

不等式の左辺から根を削除するため、不等式の両辺を2乗します。

${(- \sqrt{x + 6})}^{2} \leq {(- \sqrt{x} - \sqrt{2})}^{2}$

ステップ 3

不等式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 6}$ を ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(- {(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(- \sqrt{x} - \sqrt{2})}^{2}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

${(- {(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

積の法則を $- {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{2} {({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(- \sqrt{x} - \sqrt{2})}^{2}$

ステップ 3.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 {({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(- \sqrt{x} - \sqrt{2})}^{2}$

ステップ 3.2.1.3

${({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ に $1$ をかけます。

${({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(- \sqrt{x} - \sqrt{2})}^{2}$

ステップ 3.2.1.4

${({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(- \sqrt{x} - \sqrt{2})}^{2}$

ステップ 3.2.1.4.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.4.2.1

共通因数を約分します。

${(x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(- \sqrt{x} - \sqrt{2})}^{2}$

ステップ 3.2.1.4.2.2

式を書き換えます。

${(x + 6)}^{1} \leq {(- \sqrt{x} - \sqrt{2})}^{2}$

ステップ 3.2.1.5

簡約します。

$x + 6 \leq {(- \sqrt{x} - \sqrt{2})}^{2}$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

${(- \sqrt{x} - \sqrt{2})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

${(- \sqrt{x} - \sqrt{2})}^{2}$ を $(- \sqrt{x} - \sqrt{2}) (- \sqrt{x} - \sqrt{2})$ に書き換えます。

$x + 6 \leq (- \sqrt{x} - \sqrt{2}) (- \sqrt{x} - \sqrt{2})$

ステップ 3.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- \sqrt{x} - \sqrt{2}) (- \sqrt{x} - \sqrt{2})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$x + 6 \leq - \sqrt{x} (- \sqrt{x} - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{x} - \sqrt{2})$

ステップ 3.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$x + 6 \leq - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{x} - \sqrt{2})$

ステップ 3.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$x + 6 \leq - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{x}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

ステップ 3.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1.1

$- \sqrt{x} (- \sqrt{x})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x + 6 \leq 1 \sqrt{x} \sqrt{x} - \sqrt{x} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{x}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

ステップ 3.3.1.3.1.1.2

$\sqrt{x}$ に $1$ をかけます。

$x + 6 \leq \sqrt{x} \sqrt{x} - \sqrt{x} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{x}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

ステップ 3.3.1.3.1.1.3

$\sqrt{x}$ を $1$ 乗します。

$x + 6 \leq {\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x} - \sqrt{x} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{x}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

ステップ 3.3.1.3.1.1.4

$\sqrt{x}$ を $1$ 乗します。

$x + 6 \leq {\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1} - \sqrt{x} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{x}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

ステップ 3.3.1.3.1.1.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x + 6 \leq {\sqrt{x}}^{1 + 1} - \sqrt{x} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{x}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

ステップ 3.3.1.3.1.1.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$x + 6 \leq {\sqrt{x}}^{2} - \sqrt{x} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{x}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

ステップ 3.3.1.3.1.2

${\sqrt{x}}^{2}$ を $x$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x + 6 \leq {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{x} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{x}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

ステップ 3.3.1.3.1.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x + 6 \leq x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{x} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{x}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

ステップ 3.3.1.3.1.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x + 6 \leq x^{\frac{2}{2}} - \sqrt{x} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{x}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

ステップ 3.3.1.3.1.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1.2.4.1

共通因数を約分します。

$x + 6 \leq x^{\frac{2}{2}} - \sqrt{x} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{x}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

ステップ 3.3.1.3.1.2.4.2

式を書き換えます。

$x + 6 \leq x^{1} - \sqrt{x} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{x}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

ステップ 3.3.1.3.1.2.5

簡約します。

$x + 6 \leq x - \sqrt{x} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{x}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

ステップ 3.3.1.3.1.3

$- \sqrt{x} (- \sqrt{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x + 6 \leq x + 1 \sqrt{x} \sqrt{2} - \sqrt{2} (- \sqrt{x}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

ステップ 3.3.1.3.1.3.2

$\sqrt{x}$ に $1$ をかけます。

$x + 6 \leq x + \sqrt{x} \sqrt{2} - \sqrt{2} (- \sqrt{x}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

ステップ 3.3.1.3.1.3.3

根の積の法則を使ってまとめます。

$x + 6 \leq x + \sqrt{x \cdot 2} - \sqrt{2} (- \sqrt{x}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

ステップ 3.3.1.3.1.4

$- \sqrt{2} (- \sqrt{x})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x + 6 \leq x + \sqrt{x \cdot 2} + 1 \sqrt{2} \sqrt{x} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

ステップ 3.3.1.3.1.4.2

$\sqrt{2}$ に $1$ をかけます。

$x + 6 \leq x + \sqrt{x \cdot 2} + \sqrt{2} \sqrt{x} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

ステップ 3.3.1.3.1.4.3

根の積の法則を使ってまとめます。

$x + 6 \leq x + \sqrt{x \cdot 2} + \sqrt{2 x} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

ステップ 3.3.1.3.1.5

$- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x + 6 \leq x + \sqrt{x \cdot 2} + \sqrt{2 x} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}$

ステップ 3.3.1.3.1.5.2

$\sqrt{2}$ に $1$ をかけます。

$x + 6 \leq x + \sqrt{x \cdot 2} + \sqrt{2 x} + \sqrt{2} \sqrt{2}$

ステップ 3.3.1.3.1.5.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$x + 6 \leq x + \sqrt{x \cdot 2} + \sqrt{2 x} + {\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}$

ステップ 3.3.1.3.1.5.4

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$x + 6 \leq x + \sqrt{x \cdot 2} + \sqrt{2 x} + {\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}$

ステップ 3.3.1.3.1.5.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x + 6 \leq x + \sqrt{x \cdot 2} + \sqrt{2 x} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

ステップ 3.3.1.3.1.5.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$x + 6 \leq x + \sqrt{x \cdot 2} + \sqrt{2 x} + {\sqrt{2}}^{2}$

ステップ 3.3.1.3.1.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x + 6 \leq x + \sqrt{x \cdot 2} + \sqrt{2 x} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

ステップ 3.3.1.3.1.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x + 6 \leq x + \sqrt{x \cdot 2} + \sqrt{2 x} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

ステップ 3.3.1.3.1.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x + 6 \leq x + \sqrt{x \cdot 2} + \sqrt{2 x} + 2^{\frac{2}{2}}$

ステップ 3.3.1.3.1.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1.6.4.1

共通因数を約分します。

$x + 6 \leq x + \sqrt{x \cdot 2} + \sqrt{2 x} + 2^{\frac{2}{2}}$

ステップ 3.3.1.3.1.6.4.2

式を書き換えます。

$x + 6 \leq x + \sqrt{x \cdot 2} + \sqrt{2 x} + 2^{1}$

ステップ 3.3.1.3.1.6.5

指数を求めます。

$x + 6 \leq x + \sqrt{x \cdot 2} + \sqrt{2 x} + 2$

ステップ 3.3.1.3.2

$\sqrt{x \cdot 2}$ と $\sqrt{2 x}$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.2.1

$x$ と $2$ を並べ替えます。

$x + 6 \leq x + \sqrt{2 \cdot x} + \sqrt{2 x} + 2$

ステップ 3.3.1.3.2.2

$\sqrt{2 \cdot x}$ と $\sqrt{2 x}$ をたし算します。

$x + 6 \leq x + 2 \sqrt{2 \cdot x} + 2$

ステップ 4

$2 \sqrt{2 \cdot x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$2 \sqrt{2 \cdot x}$ が不等式の左辺になるように書き換えます。

$x + 2 \sqrt{2 \cdot x} + 2 \geq x + 6$

ステップ 4.2

$2 \sqrt{2 \cdot x}$ を含まないすべての項を不等式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

不等式の両辺から $x$ を引きます。

$2 \sqrt{2 \cdot x} + 2 \geq x + 6 - x$

ステップ 4.2.2

不等式の両辺から $2$ を引きます。

$2 \sqrt{2 \cdot x} \geq x + 6 - x - 2$

ステップ 4.2.3

$x + 6 - x - 2$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$x$ から $x$ を引きます。

$2 \sqrt{2 \cdot x} \geq 0 + 6 - 2$

ステップ 4.2.3.2

$0$ と $6$ をたし算します。

$2 \sqrt{2 \cdot x} \geq 6 - 2$

ステップ 4.2.4

$6$ から $2$ を引きます。

$2 \sqrt{2 \cdot x} \geq 4$

ステップ 5

不等式の左辺から根を削除するため、不等式の両辺を2乗します。

${(2 \sqrt{2 \cdot x})}^{2} \geq 4^{2}$

ステップ 6

不等式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 \cdot x}$ を ${(2 \cdot x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(2 {(2 \cdot x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 4^{2}$

ステップ 6.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

${(2 {(2 \cdot x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

積の法則を $2 x$ に当てはめます。

${(2 (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}^{2} \geq 4^{2}$

ステップ 6.2.1.2

指数を足して $2$ に $2^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.2.1

$2^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

${(2^{\frac{1}{2}} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 4^{2}$

ステップ 6.2.1.2.2

$2^{\frac{1}{2}}$ に $2$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.2.2.1

$2$ を $1$ 乗します。

${(2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 4^{2}$

ステップ 6.2.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${(2^{\frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 4^{2}$

ステップ 6.2.1.2.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

${(2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 4^{2}$

ステップ 6.2.1.2.4

公分母の分子をまとめます。

${(2^{\frac{1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 4^{2}$

ステップ 6.2.1.2.5

$1$ と $2$ をたし算します。

${(2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 4^{2}$

ステップ 6.2.1.3

積の法則を $2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

${(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 4^{2}$

ステップ 6.2.1.4

${(2^{\frac{3}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 4^{2}$

ステップ 6.2.1.4.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.4.2.1

共通因数を約分します。

$2^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 4^{2}$

ステップ 6.2.1.4.2.2

式を書き換えます。

$2^{3} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 4^{2}$

ステップ 6.2.1.5

$2$ を $3$ 乗します。

$8 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 4^{2}$

ステップ 6.2.1.6

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$8 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 4^{2}$

ステップ 6.2.1.6.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.6.2.1

共通因数を約分します。

$8 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 4^{2}$

ステップ 6.2.1.6.2.2

式を書き換えます。

$8 x^{1} \geq 4^{2}$

ステップ 6.2.1.7

簡約します。

$8 x \geq 4^{2}$

ステップ 6.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$4$ を $2$ 乗します。

$8 x \geq 16$

ステップ 7

$8 x \geq 16$ の各項を $8$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$8 x \geq 16$ の各項を $8$ で割ります。

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{16}{8}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{16}{8}$

ステップ 7.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \geq \frac{16}{8}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

$16$ を $8$ で割ります。

$x \geq 2$

ステップ 8

$\sqrt{2} - \sqrt{x + 6} + \sqrt{x}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$\sqrt{x + 6}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x + 6 \geq 0$

ステップ 8.2

不等式の両辺から $6$ を引きます。

$x \geq - 6$

ステップ 8.3

$\sqrt{x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 8.4

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$[0, \infty)$

ステップ 9

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

ステップ 10

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

区間 $x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

区間 $x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 10.1.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$\sqrt{2} - \sqrt{(- 2) + 6} \leq - \sqrt{- 2}$

ステップ 10.1.3

左辺は右辺に等しくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 10.2

区間 $0 < x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

区間 $0 < x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 1$

ステップ 10.2.2

$x$ を元の不等式の $1$ で置き換えます。

$\sqrt{2} - \sqrt{(1) + 6} \leq - \sqrt{1}$

ステップ 10.2.3

左辺 $- 1.23153774$ は右辺 $- 1$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 10.3

区間 $x > 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

区間 $x > 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 10.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\sqrt{2} - \sqrt{(4) + 6} \leq - \sqrt{4}$

ステップ 10.3.3

左辺 $- 1.74806409$ は右辺 $- 2$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 10.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 0$ 偽

$0 < x < 2$ 真

$x > 2$ 偽

$x < 0$ 偽

$0 < x < 2$ 真

$x > 2$ 偽

ステップ 11

解はすべての真の区間からなります。

$0 \leq x \leq 2$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$0 \leq x \leq 2$

区間記号：

$[0, 2]$

ステップ 13

代数 例

代数例