代数例

$\sqrt{648} = \sqrt{2^{a} \cdot 3^{b}}$

ステップ 1

方程式を $\sqrt{2^{a} \cdot 3^{b}} = \sqrt{648}$ として書き換えます。

$\sqrt{2^{a} \cdot 3^{b}} = \sqrt{648}$

ステップ 2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (\sqrt{2^{a} \cdot 3^{b}}) = \ln (\sqrt{648})$

ステップ 3

左辺を展開します。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2^{a} \cdot 3^{b}}$ を ${(2^{a} \cdot 3^{b})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\ln ({(2^{a} \cdot 3^{b})}^{\frac{1}{2}}) = \ln (\sqrt{648})$

ステップ 3.2

$\frac{1}{2}$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(2^{a} \cdot 3^{b})}^{\frac{1}{2}})$ を展開します。

$\frac{1}{2} \ln (2^{a} \cdot 3^{b}) = \ln (\sqrt{648})$

ステップ 3.3

$\ln (2^{a} \cdot 3^{b})$ を $\ln (2^{a}) + \ln (3^{b})$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} (\ln (2^{a}) + \ln (3^{b})) = \ln (\sqrt{648})$

ステップ 3.4

$a$ を対数の外に移動させて、 $\ln (2^{a})$ を展開します。

$\frac{1}{2} (a \ln (2) + \ln (3^{b})) = \ln (\sqrt{648})$

ステップ 3.5

$b$ を対数の外に移動させて、 $\ln (3^{b})$ を展開します。

$\frac{1}{2} (a \ln (2) + b \ln (3)) = \ln (\sqrt{648})$

ステップ 4

左辺を簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{2} (a \ln (2) + b \ln (3))$ を簡約します。

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ステップ 4.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (a \ln (2)) + \frac{1}{2} (b \ln (3)) = \ln (\sqrt{648})$

ステップ 4.1.2

$\frac{1}{2} (a \ln (2))$ を掛けます。

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ステップ 4.1.2.1

$a$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{a}{2} \ln (2) + \frac{1}{2} (b \ln (3)) = \ln (\sqrt{648})$

ステップ 4.1.2.2

$\frac{a}{2}$ と $\ln (2)$ をまとめます。

$\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{1}{2} (b \ln (3)) = \ln (\sqrt{648})$

ステップ 4.1.3

$\frac{1}{2} (b \ln (3))$ を掛けます。

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ステップ 4.1.3.1

$b$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{b}{2} \ln (3) = \ln (\sqrt{648})$

ステップ 4.1.3.2

$\frac{b}{2}$ と $\ln (3)$ をまとめます。

$\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{b \ln (3)}{2} = \ln (\sqrt{648})$

ステップ 5

右辺を簡約します。

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ステップ 5.1

$\ln (\sqrt{648})$ を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$648$ を $18^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 5.1.1.1

$324$ を $648$ で因数分解します。

$\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{b \ln (3)}{2} = \ln (\sqrt{324 (2)})$

ステップ 5.1.1.2

$324$ を $18^{2}$ に書き換えます。

$\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{b \ln (3)}{2} = \ln (\sqrt{18^{2} \cdot 2})$

ステップ 5.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{b \ln (3)}{2} = \ln (18 \sqrt{2})$

ステップ 6

$\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{b \ln (3)}{2} = \ln (18 \sqrt{2})$ の各項に $2$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 6.1

$\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{b \ln (3)}{2} = \ln (18 \sqrt{2})$ の各項に $2$ を掛けます。

$\frac{a \ln (2)}{2} \cdot 2 + \frac{b \ln (3)}{2} \cdot 2 = \ln (18 \sqrt{2}) \cdot 2$

ステップ 6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{a \ln (2)}{2} \cdot 2 + \frac{b \ln (3)}{2} \cdot 2 = \ln (18 \sqrt{2}) \cdot 2$

ステップ 6.2.1.1.2

式を書き換えます。

$a \ln (2) + \frac{b \ln (3)}{2} \cdot 2 = \ln (18 \sqrt{2}) \cdot 2$

ステップ 6.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$a \ln (2) + \frac{b \ln (3)}{2} \cdot 2 = \ln (18 \sqrt{2}) \cdot 2$

ステップ 6.2.1.2.2

式を書き換えます。

$a \ln (2) + b \ln (3) = \ln (18 \sqrt{2}) \cdot 2$

ステップ 6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1

$2$ を $\ln (18 \sqrt{2})$ の左に移動させます。

$a \ln (2) + b \ln (3) = 2 \ln (18 \sqrt{2})$

ステップ 7

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$a \ln (2) + b \ln (3) - 2 \ln (18 \sqrt{2}) = 0$

ステップ 8

$a$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 8.1

方程式の両辺から $b \ln (3)$ を引きます。

$a \ln (2) - 2 \ln (18 \sqrt{2}) = - b \ln (3)$

ステップ 8.2

方程式の両辺に $2 \ln (18 \sqrt{2})$ を足します。

$a \ln (2) = - b \ln (3) + 2 \ln (18 \sqrt{2})$

ステップ 9

$a \ln (2) = - b \ln (3) + 2 \ln (18 \sqrt{2})$ の各項を $\ln (2)$ で割り、簡約します。

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ステップ 9.1

$a \ln (2) = - b \ln (3) + 2 \ln (18 \sqrt{2})$ の各項を $\ln (2)$ で割ります。

$\frac{a \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- b \ln (3)}{\ln (2)} + \frac{2 \ln (18 \sqrt{2})}{\ln (2)}$

ステップ 9.2

左辺を簡約します。

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ステップ 9.2.1

$\ln (2)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{a \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- b \ln (3)}{\ln (2)} + \frac{2 \ln (18 \sqrt{2})}{\ln (2)}$

ステップ 9.2.1.2

$a$ を $1$ で割ります。

$a = \frac{- b \ln (3)}{\ln (2)} + \frac{2 \ln (18 \sqrt{2})}{\ln (2)}$

ステップ 9.3

右辺を簡約します。

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ステップ 9.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$a = - \frac{b \ln (3)}{\ln (2)} + \frac{2 \ln (18 \sqrt{2})}{\ln (2)}$

代数 例

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