代数例

$x^{3} - 27 x < 0$

ステップ 1

不等式を方程式に変換します。

$x^{3} - 27 x = 0$

ステップ 2

$x$ を $x^{3} - 27 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{2} - 27 x = 0$

ステップ 2.2

$x$ を $- 27 x$ で因数分解します。

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 27 = 0$

ステップ 2.3

$x$ を $x \cdot x^{2} + x \cdot - 27$ で因数分解します。

$x (x^{2} - 27) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x^{2} - 27 = 0$

ステップ 4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 5

$x^{2} - 27$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x^{2} - 27$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 27 = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $x^{2} - 27 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺に $27$ を足します。

$x^{2} = 27$

ステップ 5.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{27}$

ステップ 5.2.3

$\pm \sqrt{27}$ を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$27$ を $3^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 5.2.3.1.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$x = \pm \sqrt{9 (3)}$

ステップ 5.2.3.1.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 3}$

ステップ 5.2.3.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 3 \sqrt{3}$

ステップ 5.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 3 \sqrt{3}$

ステップ 5.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 3 \sqrt{3}$

ステップ 5.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 3 \sqrt{3}, - 3 \sqrt{3}$

ステップ 6

最終解は $x (x^{2} - 27) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 3 \sqrt{3}, - 3 \sqrt{3}$

ステップ 7

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 3 \sqrt{3}$

$- 3 \sqrt{3} < x < 0$

$0 < x < 3 \sqrt{3}$

$x > 3 \sqrt{3}$

ステップ 8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 8.1

区間 $x < - 3 \sqrt{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.1.1

区間 $x < - 3 \sqrt{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 8$

ステップ 8.1.2

$x$ を元の不等式の $- 8$ で置き換えます。

${(- 8)}^{3} - 27 \cdot - 8 < 0$

ステップ 8.1.3

左辺 $- 296$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 8.2

区間 $- 3 \sqrt{3} < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.2.1

区間 $- 3 \sqrt{3} < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 3$

ステップ 8.2.2

$x$ を元の不等式の $- 3$ で置き換えます。

${(- 3)}^{3} - 27 \cdot - 3 < 0$

ステップ 8.2.3

左辺 $54$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 8.3

区間 $0 < x < 3 \sqrt{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.3.1

区間 $0 < x < 3 \sqrt{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 8.3.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

${(3)}^{3} - 27 \cdot 3 < 0$

ステップ 8.3.3

左辺 $- 54$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 8.4

区間 $x > 3 \sqrt{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.4.1

区間 $x > 3 \sqrt{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 8$

ステップ 8.4.2

$x$ を元の不等式の $8$ で置き換えます。

${(8)}^{3} - 27 \cdot 8 < 0$

ステップ 8.4.3

左辺 $296$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 8.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 3 \sqrt{3}$ 真

$- 3 \sqrt{3} < x < 0$ 偽

$0 < x < 3 \sqrt{3}$ 真

$x > 3 \sqrt{3}$ 偽

$x < - 3 \sqrt{3}$ 真

$- 3 \sqrt{3} < x < 0$ 偽

$0 < x < 3 \sqrt{3}$ 真

$x > 3 \sqrt{3}$ 偽

ステップ 9

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 3 \sqrt{3}$ または $0 < x < 3 \sqrt{3}$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$x < - 3 \sqrt{3} or 0 < x < 3 \sqrt{3}$

区間記号：

$(- \infty, - 3 \sqrt{3}) \cup (0, 3 \sqrt{3})$

ステップ 11

代数 例

代数例