代数例

$\log_{5} (3 x + 2) < \log_{5} (2 x + 5)$

ステップ 1

不等式を等式に変換します。

$\log_{5} (3 x + 2) = \log_{5} (2 x + 5)$

ステップ 2

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を等しくするために、両辺の対数の引数が等しくなる必要があります。

$3 x + 2 = 2 x + 5$

ステップ 2.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

方程式の両辺から $2 x$ を引きます。

$3 x + 2 - 2 x = 5$

ステップ 2.2.1.2

$3 x$ から $2 x$ を引きます。

$x + 2 = 5$

ステップ 2.2.2

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = 5 - 2$

ステップ 2.2.2.2

$5$ から $2$ を引きます。

$x = 3$

ステップ 3

$\log_{5} (\frac{3 x + 2}{2 x + 5})$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\log_{5} (\frac{3 x + 2}{2 x + 5})$ の偏角を $0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

$\frac{3 x + 2}{2 x + 5} > 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$3 x + 2 = 0$

$2 x + 5 = 0$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$3 x = - 2$

ステップ 3.2.3

$3 x = - 2$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

$3 x = - 2$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

ステップ 3.2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

ステップ 3.2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 2}{3}$

ステップ 3.2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{2}{3}$

ステップ 3.2.4

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$2 x = - 5$

ステップ 3.2.5

$2 x = - 5$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.1

$2 x = - 5$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

ステップ 3.2.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

ステップ 3.2.5.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 5}{2}$

ステップ 3.2.5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{5}{2}$

ステップ 3.2.6

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = - \frac{2}{3}$

$x = - \frac{5}{2}$

ステップ 3.2.7

解をまとめます。

$x = - \frac{2}{3}, - \frac{5}{2}$

ステップ 3.2.8

$\frac{3 x + 2}{2 x + 5}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.8.1

$\frac{3 x + 2}{2 x + 5}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$2 x + 5 = 0$

ステップ 3.2.8.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.8.2.1

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$2 x = - 5$

ステップ 3.2.8.2.2

$2 x = - 5$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.8.2.2.1

$2 x = - 5$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

ステップ 3.2.8.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.8.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.8.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

ステップ 3.2.8.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 5}{2}$

ステップ 3.2.8.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.8.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{5}{2}$

ステップ 3.2.8.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (- \frac{5}{2}, \infty)$

ステップ 3.2.9

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - \frac{5}{2}$

$- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$

$x > - \frac{2}{3}$

ステップ 3.2.10

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.10.1

区間 $x < - \frac{5}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.10.1.1

区間 $x < - \frac{5}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 5$

ステップ 3.2.10.1.2

$x$ を元の不等式の $- 5$ で置き換えます。

$\frac{3 (- 5) + 2}{2 (- 5) + 5} > 0$

ステップ 3.2.10.1.3

左辺 $2.6$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 3.2.10.2

区間 $- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.10.2.1

区間 $- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 3.2.10.2.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$\frac{3 (- 2) + 2}{2 (- 2) + 5} > 0$

ステップ 3.2.10.2.3

左辺 $- 4$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 3.2.10.3

区間 $x > - \frac{2}{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.10.3.1

区間 $x > - \frac{2}{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 3.2.10.3.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{3 (0) + 2}{2 (0) + 5} > 0$

ステップ 3.2.10.3.3

左辺 $0.4$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 3.2.10.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - \frac{5}{2}$ 真

$- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$ 偽

$x > - \frac{2}{3}$ 真

$x < - \frac{5}{2}$ 真

$- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$ 偽

$x > - \frac{2}{3}$ 真

ステップ 3.2.11

解はすべての真の区間からなります。

$x < - \frac{5}{2}$ または $x > - \frac{2}{3}$

ステップ 3.3

$\frac{3 x + 2}{2 x + 5}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$2 x + 5 = 0$

ステップ 3.4

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$2 x = - 5$

ステップ 3.4.2

$2 x = - 5$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$2 x = - 5$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

ステップ 3.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

ステップ 3.4.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 5}{2}$

ステップ 3.4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{5}{2}$

ステップ 3.5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (- \frac{2}{3}, \infty)$

ステップ 4

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - \frac{5}{2}$

$- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$

$- \frac{2}{3} < x < 3$

$x > 3$

ステップ 5

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

区間 $x < - \frac{5}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

区間 $x < - \frac{5}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 5$

ステップ 5.1.2

$x$ を元の不等式の $- 5$ で置き換えます。

$\log_{5} (3 (- 5) + 2) < \log_{5} (2 (- 5) + 5)$

ステップ 5.1.3

不等式が真か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

未定義なので、方程式は解くことができません。

$未定義$

ステップ 5.1.3.2

左辺に解はありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 5.2

区間 $- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

区間 $- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 5.2.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$\log_{5} (3 (- 2) + 2) < \log_{5} (2 (- 2) + 5)$

ステップ 5.2.3

不等式が真か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

未定義なので、方程式は解くことができません。

$未定義$

ステップ 5.2.3.2

左辺に解はありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 5.3

区間 $- \frac{2}{3} < x < 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

区間 $- \frac{2}{3} < x < 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 5.3.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\log_{5} (3 (0) + 2) < \log_{5} (2 (0) + 5)$

ステップ 5.3.3

左辺 $0.43067655$ は右辺 $1$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 5.4

区間 $x > 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

区間 $x > 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 5.4.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$\log_{5} (3 (6) + 2) < \log_{5} (2 (6) + 5)$

ステップ 5.4.3

左辺 $1.86135311$ は右辺 $1.76037442$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 5.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - \frac{5}{2}$ 偽

$- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$ 偽

$- \frac{2}{3} < x < 3$ 真

$x > 3$ 偽

$x < - \frac{5}{2}$ 偽

$- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$ 偽

$- \frac{2}{3} < x < 3$ 真

$x > 3$ 偽

ステップ 6

解はすべての真の区間からなります。

$- \frac{2}{3} < x < 3$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$- \frac{2}{3} < x < 3$

区間記号：

$(- \frac{2}{3}, 3)$

ステップ 8

代数 例

代数例