代数例

$5 x^{2} - 25 x < x - 5$

ステップ 1

$x$ を含むすべての項を不等式の左辺に移動させます。

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ステップ 1.1

不等式の両辺から $x$ を引きます。

$5 x^{2} - 25 x - x < - 5$

ステップ 1.2

$- 25 x$ から $x$ を引きます。

$5 x^{2} - 26 x < - 5$

ステップ 2

不等式を方程式に変換します。

$5 x^{2} - 26 x = - 5$

ステップ 3

方程式の両辺に $5$ を足します。

$5 x^{2} - 26 x + 5 = 0$

ステップ 4

群による因数分解。

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ステップ 4.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 5 \cdot 5 = 25$ で和が $b = - 26$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 4.1.1

$- 26$ を $- 26 x$ で因数分解します。

$5 x^{2} - 26 x + 5 = 0$

ステップ 4.1.2

$- 26$ を $- 1$ プラス $- 25$ に書き換える

$5 x^{2} + (- 1 - 25) x + 5 = 0$

ステップ 4.1.3

分配則を当てはめます。

$5 x^{2} - 1 x - 25 x + 5 = 0$

ステップ 4.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 4.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(5 x^{2} - 1 x) - 25 x + 5 = 0$

ステップ 4.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x (5 x - 1) - 5 (5 x - 1) = 0$

ステップ 4.3

最大公約数 $5 x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(5 x - 1) (x - 5) = 0$

ステップ 5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$5 x - 1 = 0$

$x - 5 = 0$

ステップ 6

$5 x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$5 x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$5 x - 1 = 0$

ステップ 6.2

$x$ について $5 x - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$5 x = 1$

ステップ 6.2.2

$5 x = 1$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$5 x = 1$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

ステップ 6.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

ステップ 6.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{5}$

ステップ 7

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 7.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 8

最終解は $(5 x - 1) (x - 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{1}{5}, 5$

ステップ 9

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < \frac{1}{5}$

$\frac{1}{5} < x < 5$

$x > 5$

ステップ 10

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 10.1

区間 $x < \frac{1}{5}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.1.1

区間 $x < \frac{1}{5}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 10.1.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$5 {(0)}^{2} - 25 \cdot 0 < (0) - 5$

ステップ 10.1.3

左辺 $0$ は右辺 $- 5$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 10.2

区間 $\frac{1}{5} < x < 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.2.1

区間 $\frac{1}{5} < x < 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 10.2.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$5 {(3)}^{2} - 25 \cdot 3 < (3) - 5$

ステップ 10.2.3

左辺 $- 30$ は右辺 $- 2$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 10.3

区間 $x > 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.3.1

区間 $x > 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 8$

ステップ 10.3.2

$x$ を元の不等式の $8$ で置き換えます。

$5 {(8)}^{2} - 25 \cdot 8 < (8) - 5$

ステップ 10.3.3

左辺 $120$ は右辺 $3$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 10.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < \frac{1}{5}$ 偽

$\frac{1}{5} < x < 5$ 真

$x > 5$ 偽

$x < \frac{1}{5}$ 偽

$\frac{1}{5} < x < 5$ 真

$x > 5$ 偽

ステップ 11

解はすべての真の区間からなります。

$\frac{1}{5} < x < 5$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$\frac{1}{5} < x < 5$

区間記号：

$(\frac{1}{5}, 5)$

ステップ 13

代数 例

代数例