代数例

$2 \sin^{2} (x) - \sqrt{3} = 0$

ステップ 1

方程式の両辺に $\sqrt{3}$ を足します。

$2 \sin^{2} (x) = \sqrt{3}$

ステップ 2

$2 \sin^{2} (x) = \sqrt{3}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.1

$2 \sin^{2} (x) = \sqrt{3}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.2.1.2

$\sin^{2} (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin^{2} (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

ステップ 4

$\pm \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 4.1

$\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ を $\frac{\sqrt{\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$

ステップ 4.2

$\sqrt{\sqrt{3}}$ を $\sqrt[4]{3}$ に書き換えます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}$

ステップ 4.3

$\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 4.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 4.4.1

$\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 4.4.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 4.4.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 4.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 4.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 4.4.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 4.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.4.6.4.2

式を書き換えます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 4.4.6.5

指数を求めます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.5.1

最小共通指数 $4$ を利用して式を書き換えます。

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ステップ 4.5.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3} \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 4.5.1.2

$2^{\frac{1}{2}}$ を $2^{\frac{2}{4}}$ に書き換えます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3} \cdot 2^{\frac{2}{4}}}{2}$

ステップ 4.5.1.3

$2^{\frac{2}{4}}$ を $\sqrt[4]{2^{2}}$ に書き換えます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3} \sqrt[4]{2^{2}}}{2}$

ステップ 4.5.2

根の積の法則を使ってまとめます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3 \cdot 2^{2}}}{2}$

ステップ 4.5.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{3 \cdot 4}}{2}$

ステップ 4.6

$3$ に $4$ をかけます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{12}}{2}$

ステップ 5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\sin (x) = \frac{\sqrt[4]{12}}{2}$

ステップ 5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\sin (x) = - \frac{\sqrt[4]{12}}{2}$

ステップ 5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\sin (x) = \frac{\sqrt[4]{12}}{2}, - \frac{\sqrt[4]{12}}{2}$

ステップ 6

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\sin (x) = \frac{\sqrt[4]{12}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt[4]{12}}{2}$

ステップ 7

$\sin (x) = \frac{\sqrt[4]{12}}{2}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 7.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (\frac{\sqrt[4]{12}}{2})$

ステップ 7.2

右辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$\arcsin (\frac{\sqrt[4]{12}}{2})$ の値を求めます。

$x = 1.19606189$

ステップ 7.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = (3.14159265) - 1.19606189$

ステップ 7.4

$x$ について解きます。

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ステップ 7.4.1

括弧を削除します。

$x = 3.14159265 - 1.19606189$

ステップ 7.4.2

括弧を削除します。

$x = (3.14159265) - 1.19606189$

ステップ 7.4.3

$3.14159265$ から $1.19606189$ を引きます。

$x = 1.94553075$

ステップ 7.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 7.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 7.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 7.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 7.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 7.6

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 1.19606189 + 2 π n, 1.94553075 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

$\sin (x) = - \frac{\sqrt[4]{12}}{2}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 8.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt[4]{12}}{2})$

ステップ 8.2

右辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$\arcsin (- \frac{\sqrt[4]{12}}{2})$ の値を求めます。

$x = - 1.19606189$

ステップ 8.3

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$x = 2 (3.14159265) + 1.19606189 + 3.14159265$

ステップ 8.4

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 8.4.1

$2 (3.14159265) + 1.19606189 + 3.14159265$ から $2 π$ を引きます。

$x = 2 (3.14159265) + 1.19606189 + 3.14159265 - 2 π$

ステップ 8.4.2

$4.33765454$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 (3.14159265) + 1.19606189 + 3.14159265$ と隣接します。

$x = 4.33765454$

ステップ 8.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 8.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 8.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 8.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 8.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 8.6

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 8.6.1

$2 π$ を $- 1.19606189$ に足し、正の角を求めます。

$- 1.19606189 + 2 π$

ステップ 8.6.2

$2 π$ から $1.19606189$ を引きます。

$5.08712341$

ステップ 8.6.3

新しい角をリストします。

$x = 5.08712341$

ステップ 8.7

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 4.33765454 + 2 π n, 5.08712341 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9

すべての解をまとめます。

$x = 1.19606189 + 2 π n, 1.94553075 + 2 π n, 4.33765454 + 2 π n, 5.08712341 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 10

解をまとめます。

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ステップ 10.1

$4.33765454 + 2 π n$ と $1.19606189 + π n$ を $1.19606189 + 2 π n$ にまとめます。

$x = 1.19606189 + π n, 1.94553075 + 2 π n, 5.08712341 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 10.2

$5.08712341 + 2 π n$ と $1.94553075 + π n$ を $1.94553075 + 2 π n$ にまとめます。

$x = 1.19606189 + π n, 1.94553075 + π n$ 、任意の整数 $n$

代数 例

代数例