代数例

$f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$

ステップ 1

$f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ を方程式で書きます。

$y = x + 2 \sqrt{x - 1}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = y + 2 \sqrt{y - 1}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $y + 2 \sqrt{y - 1} = x$ として書き換えます。

$y + 2 \sqrt{y - 1} = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$2 \sqrt{y - 1} = x - y$

ステップ 3.3

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${(2 \sqrt{y - 1})}^{2} = {(x - y)}^{2}$

ステップ 3.4

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y - 1}$ を ${(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(2 {(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - y)}^{2}$

ステップ 3.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

${(2 {(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1

積の法則を $2 {(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

$2^{2} {({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - y)}^{2}$

ステップ 3.4.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$4 {({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - y)}^{2}$

ステップ 3.4.2.1.3

${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 {(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - y)}^{2}$

ステップ 3.4.2.1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$4 {(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - y)}^{2}$

ステップ 3.4.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$4 {(y - 1)}^{1} = {(x - y)}^{2}$

ステップ 3.4.2.1.4

簡約します。

$4 (y - 1) = {(x - y)}^{2}$

ステップ 3.4.2.1.5

分配則を当てはめます。

$4 y + 4 \cdot - 1 = {(x - y)}^{2}$

ステップ 3.4.2.1.6

$4$ に $- 1$ をかけます。

$4 y - 4 = {(x - y)}^{2}$

ステップ 3.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

${(x - y)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1.1

${(x - y)}^{2}$ を $(x - y) (x - y)$ に書き換えます。

$4 y - 4 = (x - y) (x - y)$

ステップ 3.4.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - y) (x - y)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$4 y - 4 = x (x - y) - y (x - y)$

ステップ 3.4.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$4 y - 4 = x \cdot x + x (- y) - y (x - y)$

ステップ 3.4.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$4 y - 4 = x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)$

ステップ 3.4.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$4 y - 4 = x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)$

ステップ 3.4.3.1.3.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x - y (- y)$

ステップ 3.4.3.1.3.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y$

ステップ 3.4.3.1.3.1.4

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1.3.1.4.1

$y$ を移動させます。

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)$

ステップ 3.4.3.1.3.1.4.2

$y$ に $y$ をかけます。

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}$

ステップ 3.4.3.1.3.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}$

ステップ 3.4.3.1.3.1.6

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x + y^{2}$

ステップ 3.4.3.1.3.2

$- x y$ から $y x$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1.3.2.1

$y$ を移動させます。

$4 y - 4 = x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}$

ステップ 3.4.3.1.3.2.2

$- x y$ から $x y$ を引きます。

$4 y - 4 = x^{2} - 2 x y + y^{2}$

ステップ 3.5

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$y$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$x^{2} - 2 x y + y^{2} = 4 y - 4$

ステップ 3.5.2

方程式の両辺から $4 y$ を引きます。

$x^{2} - 2 x y + y^{2} - 4 y = - 4$

ステップ 3.5.3

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x^{2} - 2 x y + y^{2} - 4 y + 4 = 0$

ステップ 3.5.4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.5.5

$a = 1$ 、 $b = - 2 x - 4$ 、および $c = x^{2} + 4$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{- (- 2 x - 4) \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.6.1.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- (- 2 x) + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.6.1.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.6.1.3

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.6.1.4

括弧を付けます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.6.1.5

$u = 1 \cdot (x^{2} + 4)$ とします。 $u$ を $1 \cdot (x^{2} + 4)$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.6.1.5.1

${(- 2 x - 4)}^{2}$ を $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ に書き換えます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{(- 2 x - 4) (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.6.1.5.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.6.1.5.2.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x - 4) - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.6.1.5.2.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.6.1.5.2.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.6.1.5.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.6.1.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.6.1.5.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x \cdot x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.6.1.5.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.6.1.5.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.6.1.5.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x^{2}) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.6.1.5.3.1.3

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.6.1.5.3.1.4

$- 4$ に $- 2$ をかけます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.6.1.5.3.1.5

$- 2$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.6.1.5.3.1.6

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.6.1.5.3.2

$8 x$ と $8 x$ をたし算します。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.6.1.6

$4$ を $4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.6.1.6.1

$4$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.6.1.6.2

$4$ を $16 x$ で因数分解します。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.6.1.6.3

$4$ を $16$ で因数分解します。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.6.1.6.4

$4$ を $- 4 u$ で因数分解します。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.6.1.6.5

$4$ を $4 (x^{2}) + 4 (4 x)$ で因数分解します。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.6.1.6.6

$4$ を $4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4)$ で因数分解します。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.6.1.6.7

$4$ を $4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)$ で因数分解します。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - u)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.6.1.7

$u$ のすべての発生を $1 \cdot (x^{2} + 4)$ で置き換えます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (1 \cdot (x^{2} + 4)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.6.1.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.6.1.8.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.6.1.8.1.1

$x^{2} + 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.6.1.8.1.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.6.1.8.1.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.6.1.8.2

$x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.6.1.8.2.1

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 + 0 - 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.6.1.8.2.2

$4 x + 4$ と $0$ をたし算します。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 - 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.6.1.8.2.3

$4$ から $4$ を引きます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 0)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.6.1.8.2.4

$4 x$ と $0$ をたし算します。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x)}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 \cdot (4 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.6.1.9

$4$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{16 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.6.1.10

$16 x$ を ${(2^{2})}^{2} x$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.6.1.10.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4^{2} x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.6.1.10.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.6.1.11

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{2 x + 4 \pm 2^{2} \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.6.1.12

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2}$

ステップ 3.5.7

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.1.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- (- 2 x) + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.7.1.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.7.1.3

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.7.1.4

括弧を付けます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.7.1.5

$u = 1 \cdot (x^{2} + 4)$ とします。 $u$ を $1 \cdot (x^{2} + 4)$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.1.5.1

${(- 2 x - 4)}^{2}$ を $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ に書き換えます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{(- 2 x - 4) (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.7.1.5.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.1.5.2.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x - 4) - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.7.1.5.2.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.7.1.5.2.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.7.1.5.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.1.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.1.5.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x \cdot x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.7.1.5.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.1.5.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.7.1.5.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x^{2}) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.7.1.5.3.1.3

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.7.1.5.3.1.4

$- 4$ に $- 2$ をかけます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.7.1.5.3.1.5

$- 2$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.7.1.5.3.1.6

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.7.1.5.3.2

$8 x$ と $8 x$ をたし算します。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.7.1.6

$4$ を $4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.1.6.1

$4$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.7.1.6.2

$4$ を $16 x$ で因数分解します。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.7.1.6.3

$4$ を $16$ で因数分解します。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.7.1.6.4

$4$ を $- 4 u$ で因数分解します。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.7.1.6.5

$4$ を $4 (x^{2}) + 4 (4 x)$ で因数分解します。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.7.1.6.6

$4$ を $4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4)$ で因数分解します。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.7.1.6.7

$4$ を $4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)$ で因数分解します。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - u)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.7.1.7

$u$ のすべての発生を $1 \cdot (x^{2} + 4)$ で置き換えます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (1 \cdot (x^{2} + 4)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.7.1.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.1.8.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.1.8.1.1

$x^{2} + 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.7.1.8.1.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.7.1.8.1.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.7.1.8.2

$x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.1.8.2.1

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 + 0 - 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.7.1.8.2.2

$4 x + 4$ と $0$ をたし算します。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 - 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.7.1.8.2.3

$4$ から $4$ を引きます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 0)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.7.1.8.2.4

$4 x$ と $0$ をたし算します。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x)}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 \cdot (4 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.7.1.9

$4$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{16 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.7.1.10

$16 x$ を ${(2^{2})}^{2} x$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.1.10.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4^{2} x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.7.1.10.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.7.1.11

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{2 x + 4 \pm 2^{2} \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.7.1.12

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.7.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2}$

ステップ 3.5.7.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$y = \frac{2 x + 4 + 4 \sqrt{x}}{2}$

ステップ 3.5.7.4

$2 x + 4 + 4 \sqrt{x}$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.4.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$y = \frac{2 (x) + 4 + 4 \sqrt{x}}{2}$

ステップ 3.5.7.4.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$y = \frac{2 (x) + 2 \cdot 2 + 4 \sqrt{x}}{2}$

ステップ 3.5.7.4.3

$2$ を $2 (x) + 2 (2)$ で因数分解します。

$y = \frac{2 (x + 2) + 4 \sqrt{x}}{2}$

ステップ 3.5.7.4.4

$2$ を $4 \sqrt{x}$ で因数分解します。

$y = \frac{2 (x + 2) + 2 (2 \sqrt{x})}{2}$

ステップ 3.5.7.4.5

$2$ を $2 (x + 2) + 2 (2 \sqrt{x})$ で因数分解します。

$y = \frac{2 (x + 2 + 2 \sqrt{x})}{2}$

ステップ 3.5.7.4.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.4.6.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$y = \frac{2 (x + 2 + 2 \sqrt{x})}{2 (1)}$

ステップ 3.5.7.4.6.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{2 (x + 2 + 2 \sqrt{x})}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.7.4.6.3

式を書き換えます。

$y = \frac{x + 2 + 2 \sqrt{x}}{1}$

ステップ 3.5.7.4.6.4

$x + 2 + 2 \sqrt{x}$ を $1$ で割ります。

$y = x + 2 + 2 \sqrt{x}$

ステップ 3.5.8

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.8.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.8.1.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- (- 2 x) + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.8.1.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.8.1.3

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.8.1.4

括弧を付けます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.8.1.5

$u = 1 \cdot (x^{2} + 4)$ とします。 $u$ を $1 \cdot (x^{2} + 4)$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.8.1.5.1

${(- 2 x - 4)}^{2}$ を $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ に書き換えます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{(- 2 x - 4) (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.8.1.5.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.8.1.5.2.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x - 4) - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.8.1.5.2.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.8.1.5.2.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.8.1.5.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.8.1.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.8.1.5.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x \cdot x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.8.1.5.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.8.1.5.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.8.1.5.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x^{2}) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.8.1.5.3.1.3

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.8.1.5.3.1.4

$- 4$ に $- 2$ をかけます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.8.1.5.3.1.5

$- 2$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.8.1.5.3.1.6

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.8.1.5.3.2

$8 x$ と $8 x$ をたし算します。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.8.1.6

$4$ を $4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.8.1.6.1

$4$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.8.1.6.2

$4$ を $16 x$ で因数分解します。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.8.1.6.3

$4$ を $16$ で因数分解します。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.8.1.6.4

$4$ を $- 4 u$ で因数分解します。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.8.1.6.5

$4$ を $4 (x^{2}) + 4 (4 x)$ で因数分解します。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.8.1.6.6

$4$ を $4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4)$ で因数分解します。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.8.1.6.7

$4$ を $4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)$ で因数分解します。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - u)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.8.1.7

$u$ のすべての発生を $1 \cdot (x^{2} + 4)$ で置き換えます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (1 \cdot (x^{2} + 4)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.8.1.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.8.1.8.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.8.1.8.1.1

$x^{2} + 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.8.1.8.1.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.8.1.8.1.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.8.1.8.2

$x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.8.1.8.2.1

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 + 0 - 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.8.1.8.2.2

$4 x + 4$ と $0$ をたし算します。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 - 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.8.1.8.2.3

$4$ から $4$ を引きます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 0)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.8.1.8.2.4

$4 x$ と $0$ をたし算します。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x)}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 \cdot (4 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.8.1.9

$4$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{16 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.8.1.10

$16 x$ を ${(2^{2})}^{2} x$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.8.1.10.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4^{2} x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.8.1.10.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.8.1.11

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{2 x + 4 \pm 2^{2} \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.8.1.12

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.8.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2}$

ステップ 3.5.8.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$y = \frac{2 x + 4 - 4 \sqrt{x}}{2}$

ステップ 3.5.8.4

$2 x + 4 - 4 \sqrt{x}$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.8.4.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$y = \frac{2 (x) + 4 - 4 \sqrt{x}}{2}$

ステップ 3.5.8.4.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$y = \frac{2 (x) + 2 \cdot 2 - 4 \sqrt{x}}{2}$

ステップ 3.5.8.4.3

$2$ を $2 (x) + 2 (2)$ で因数分解します。

$y = \frac{2 (x + 2) - 4 \sqrt{x}}{2}$

ステップ 3.5.8.4.4

$2$ を $- 4 \sqrt{x}$ で因数分解します。

$y = \frac{2 (x + 2) + 2 (- 2 \sqrt{x})}{2}$

ステップ 3.5.8.4.5

$2$ を $2 (x + 2) + 2 (- 2 \sqrt{x})$ で因数分解します。

$y = \frac{2 (x + 2 - 2 \sqrt{x})}{2}$

ステップ 3.5.8.4.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.8.4.6.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$y = \frac{2 (x + 2 - 2 \sqrt{x})}{2 (1)}$

ステップ 3.5.8.4.6.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{2 (x + 2 - 2 \sqrt{x})}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.8.4.6.3

式を書き換えます。

$y = \frac{x + 2 - 2 \sqrt{x}}{1}$

ステップ 3.5.8.4.6.4

$x + 2 - 2 \sqrt{x}$ を $1$ で割ります。

$y = x + 2 - 2 \sqrt{x}$

ステップ 3.5.9

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = x + 2 + 2 \sqrt{x}$

$y = x + 2 - 2 \sqrt{x}$

$y = x + 2 + 2 \sqrt{x}$

$y = x + 2 - 2 \sqrt{x}$

$y = x + 2 + 2 \sqrt{x}$

$y = x + 2 - 2 \sqrt{x}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = x + 2 + 2 \sqrt{x}, x + 2 - 2 \sqrt{x}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = x + 2 + 2 \sqrt{x}, x + 2 - 2 \sqrt{x}$ が $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆の定義域は元の関数の値域です、逆も同じです。定義域と $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ の値域、 $f^{- 1} (x) = x + 2 + 2 \sqrt{x}, x + 2 - 2 \sqrt{x}$ を求め、それらを比較します。

ステップ 5.2

$f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ の値域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[1, \infty)$

ステップ 5.3

$x + 2 + 2 \sqrt{x}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$\sqrt{x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 5.3.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$[0, \infty)$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (x) = x + 2 + 2 \sqrt{x}, x + 2 - 2 \sqrt{x}$ の定義域が $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ の範囲に等しくないので、 $f^{- 1} (x) = x + 2 + 2 \sqrt{x}, x + 2 - 2 \sqrt{x}$ は $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ の逆ではありません。

逆はありません

ステップ 6

代数 例

代数例