代数例

$x^{3} + 1 = x^{2} + x$

ステップ 1

$x$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$x^{2} + x = x^{3} + 1$

ステップ 2

方程式の両辺から $x^{3}$ を引きます。

$x^{2} + x - x^{3} = 1$

ステップ 3

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x^{2} + x - x^{3} - 1 = 0$

ステップ 4

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 4.1

項を並べ替えます。

$- x^{3} + x^{2} + x - 1 = 0$

ステップ 4.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 4.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(- x^{3} + x^{2}) + x - 1 = 0$

ステップ 4.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x^{2} (- x + 1) - 1 (- x + 1) = 0$

$x^{2} (- x + 1) - 1 (- x + 1) = 0$

ステップ 4.3

最大公約数 $- x + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(- x + 1) (x^{2} - 1) = 0$

ステップ 4.4

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$(- x + 1) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

ステップ 4.5

因数分解。

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ステップ 4.5.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$(- x + 1) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

ステップ 4.5.2

不要な括弧を削除します。

$(- x + 1) (x + 1) (x - 1) = 0$

$(- x + 1) (x + 1) (x - 1) = 0$

ステップ 4.6

指数をまとめます。

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ステップ 4.6.1

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$(- (x) + 1) (x + 1) (x - 1) = 0$

ステップ 4.6.2

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$(- (x) - 1 \cdot - 1) (x + 1) (x - 1) = 0$

ステップ 4.6.3

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$- (x - 1) (x + 1) (x - 1) = 0$

ステップ 4.6.4

$- (x - 1)$ を $- 1 (x - 1)$ に書き換えます。

$- 1 (x - 1) (x + 1) (x - 1) = 0$

ステップ 4.6.5

$x - 1$ を $1$ 乗します。

$- 1 ((x - 1) (x - 1)) (x + 1) = 0$

ステップ 4.6.6

$x - 1$ を $1$ 乗します。

$- 1 ((x - 1) (x - 1)) (x + 1) = 0$

ステップ 4.6.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 1 {(x - 1)}^{1 + 1} (x + 1) = 0$

ステップ 4.6.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1) = 0$

$- 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1) = 0$

$- 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1) = 0$

ステップ 5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

${(x - 1)}^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 6

${(x - 1)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

${(x - 1)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 1)}^{2} = 0$

ステップ 6.2

$x$ について ${(x - 1)}^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 6.2.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

$x = 1$

$x = 1$

ステップ 7

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 7.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

$x = - 1$

ステップ 8

最終解は $- 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1, - 1$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$