代数例

$x^{2} - 10 x - 81 - y^{2} - 18 y + 25$

ステップ 1

項を再分類します。

$x^{2} - 10 x + 25 - 81 - y^{2} - 18 y$

ステップ 2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$x^{2} - 10 x + 5^{2} - 81 - y^{2} - 18 y$

ステップ 2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

ステップ 2.3

多項式を書き換えます。

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2} - 81 - y^{2} - 18 y$

ステップ 2.4

$a = x$ と $b = 5$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

${(x - 5)}^{2} - 81 - y^{2} - 18 y$

ステップ 3

群による因数分解。

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ステップ 3.1

項を並べ替えます。

${(x - 5)}^{2} - y^{2} - 18 y - 81$

ステップ 3.2

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot - 81 = 81$ で和が $b = - 18$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 3.2.1

$- 18$ を $- 18 y$ で因数分解します。

${(x - 5)}^{2} - y^{2} - 18 (y) - 81$

ステップ 3.2.2

$- 18$ を $- 9$ プラス $- 9$ に書き換える

${(x - 5)}^{2} - y^{2} + (- 9 - 9) y - 81$

ステップ 3.2.3

分配則を当てはめます。

${(x - 5)}^{2} - y^{2} - 9 y - 9 y - 81$

ステップ 3.3

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 3.3.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

${(x - 5)}^{2} + (- y^{2} - 9 y) - 9 y - 81$

ステップ 3.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

${(x - 5)}^{2} + y (- y - 9) + 9 (- y - 9)$

ステップ 3.4

最大公約数 $- y - 9$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

${(x - 5)}^{2} + (- y - 9) (y + 9)$

ステップ 4

$(y + 9) (y + 9)$ を ${(y + 9)}^{2}$ に書き換えます。

${(x - 5)}^{2} - {(y + 9)}^{2}$

ステップ 5

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x - 5$ であり、 $b = y + 9$ です。

$(x - 5 + y + 9) (x - 5 - (y + 9))$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$- 5$ と $9$ をたし算します。

$(x + y + 4) (x - 5 - (y + 9))$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$(x + y + 4) (x - 5 - y - 1 \cdot 9)$

ステップ 6.3

$- 1$ に $9$ をかけます。

$(x + y + 4) (x - 5 - y - 9)$

ステップ 6.4

$- 5$ から $9$ を引きます。

$(x + y + 4) (x - y - 14)$

代数 例

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