代数例

$x^{3} + 3 x + 2 x + 6$

ステップ 1

$3 x$ と $2 x$ をたし算します。

$x^{3} + 5 x + 6$

ステップ 2

有理根検定を用いて $x^{3} + 5 x + 6$ を因数分解します。

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ステップ 2.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

ステップ 2.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

ステップ 2.3

$- 1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 1$ は多項式の根です。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ を多項式に代入します。

${(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1 + 6$

ステップ 2.3.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$- 1 + 5 \cdot - 1 + 6$

ステップ 2.3.3

$5$ に $- 1$ をかけます。

$- 1 - 5 + 6$

ステップ 2.3.4

$- 1$ から $5$ を引きます。

$- 6 + 6$

ステップ 2.3.5

$- 6$ と $6$ をたし算します。

$0$

ステップ 2.4

$- 1$ は既知の根なので、多項式を $x + 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} + 5 x + 6}{x + 1}$

ステップ 2.5

$x^{3} + 5 x + 6$ を $x + 1$ で割ります。

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ステップ 2.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

ステップ 2.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$

ステップ 2.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

ステップ 2.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} + x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

ステップ 2.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

ステップ 2.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$5 x$

ステップ 2.5.7

被除数 $- x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$5 x$

ステップ 2.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

ステップ 2.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- x^{2} - x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

ステップ 2.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$6 x$

ステップ 2.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$6 x$	+	$6$

ステップ 2.5.12

被除数 $6 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$6 x$	+	$6$

ステップ 2.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$6 x$	+	$6$
							+	$6 x$	+	$6$

ステップ 2.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $6 x + 6$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$6 x$	+	$6$
							-	$6 x$	-	$6$

ステップ 2.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$6 x$	+	$6$
							-	$6 x$	-	$6$
										$0$

ステップ 2.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - x + 6$

ステップ 2.6

$x^{3} + 5 x + 6$ を因数の集合として書き換えます。

$(x + 1) (x^{2} - x + 6)$

代数 例

代数例