代数例

$f (x) = - \sqrt{x + 2}$ ; for $x \geq - 2$

ステップ 1

与えられた関数の値域を求めます。

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ステップ 1.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

$(- \infty, 0]$

ステップ 1.2

$(- \infty, 0]$ を不等式に変換します。

$y \leq 0$

ステップ 2

逆を求めます。

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ステップ 2.1

変数を入れ替えます。

$x = - \sqrt{y + 2}$

ステップ 2.2

$y$ について解きます。

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ステップ 2.2.1

方程式を $- \sqrt{y + 2} = x$ として書き換えます。

$- \sqrt{y + 2} = x$

ステップ 2.2.2

$- \sqrt{y + 2} = x$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$- \sqrt{y + 2} = x$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \sqrt{y + 2}}{- 1} = \frac{x}{- 1}$

ステップ 2.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\sqrt{y + 2}}{1} = \frac{x}{- 1}$

ステップ 2.2.2.2.2

$\sqrt{y + 2}$ を $1$ で割ります。

$\sqrt{y + 2} = \frac{x}{- 1}$

ステップ 2.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.3.1

$\frac{x}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\sqrt{y + 2} = - 1 \cdot x$

ステップ 2.2.2.3.2

$- 1 \cdot x$ を $- x$ に書き換えます。

$\sqrt{y + 2} = - x$

ステップ 2.2.3

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{y + 2}}^{2} = {(- x)}^{2}$

ステップ 2.2.4

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 2.2.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y + 2}$ を ${(y + 2)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(y + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x)}^{2}$

ステップ 2.2.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.4.2.1

${({(y + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 2.2.4.2.1.1

${({(y + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.4.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(y + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

ステップ 2.2.4.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.4.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(y + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

ステップ 2.2.4.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(y + 2)}^{1} = {(- x)}^{2}$

ステップ 2.2.4.2.1.2

簡約します。

$y + 2 = {(- x)}^{2}$

ステップ 2.2.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.4.3.1

${(- x)}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 2.2.4.3.1.1

積の法則を $- x$ に当てはめます。

$y + 2 = {(- 1)}^{2} x^{2}$

ステップ 2.2.4.3.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$y + 2 = 1 x^{2}$

ステップ 2.2.4.3.1.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$y + 2 = x^{2}$

ステップ 2.2.5

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$y = x^{2} - 2$

ステップ 2.3

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2$

ステップ 3

定義域と元の関数の値域を利用して逆を求めます。

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2, x \leq 0$

ステップ 4

代数 例

代数例