代数例

$\log_{\frac{1}{5}} (5 x - 1) \geq 0$

ステップ 1

不等式を等式に変換します。

$\log_{\frac{1}{5}} (5 x - 1) = 0$

ステップ 2

方程式を解きます。

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ステップ 2.1

対数の定義を利用して $\log_{\frac{1}{5}} (5 x - 1) = 0$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

${(\frac{1}{5})}^{0} = 5 x - 1$

ステップ 2.2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.2.1

方程式を $5 x - 1 = {(\frac{1}{5})}^{0}$ として書き換えます。

$5 x - 1 = {(\frac{1}{5})}^{0}$

ステップ 2.2.2

${(\frac{1}{5})}^{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

積の法則を $\frac{1}{5}$ に当てはめます。

$5 x - 1 = \frac{1^{0}}{5^{0}}$

ステップ 2.2.2.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$5 x - 1 = \frac{1}{5^{0}}$

ステップ 2.2.2.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$5 x - 1 = \frac{1}{1}$

ステップ 2.2.2.4

$1$ を $1$ で割ります。

$5 x - 1 = 1$

ステップ 2.2.3

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.2.3.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$5 x = 1 + 1$

ステップ 2.2.3.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$5 x = 2$

ステップ 2.2.4

$5 x = 2$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.4.1

$5 x = 2$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

ステップ 2.2.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.4.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

ステップ 2.2.4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{2}{5}$

ステップ 3

$\log_{\frac{1}{5}} (5 x - 1)$ の定義域を求めます。

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ステップ 3.1

$\log_{\frac{1}{5}} (5 x - 1)$ の偏角を $0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

$5 x - 1 > 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 3.2.1

不等式の両辺に $1$ を足します。

$5 x > 1$

ステップ 3.2.2

$5 x > 1$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$5 x > 1$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 x}{5} > \frac{1}{5}$

ステップ 3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 x}{5} > \frac{1}{5}$

ステップ 3.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x > \frac{1}{5}$

ステップ 3.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(\frac{1}{5}, \infty)$

ステップ 4

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < \frac{1}{5}$

$\frac{1}{5} < x < \frac{2}{5}$

$x > \frac{2}{5}$

ステップ 5

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 5.1

区間 $x < \frac{1}{5}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 5.1.1

区間 $x < \frac{1}{5}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 5.1.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\log_{\frac{1}{5}} (5 (0) - 1) \geq 0$

ステップ 5.1.3

不等式が真か判定します。

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ステップ 5.1.3.1

未定義なので、方程式は解くことができません。

$未定義$

ステップ 5.1.3.2

左辺に解はありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 5.2

区間 $\frac{1}{5} < x < \frac{2}{5}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 5.2.1

区間 $\frac{1}{5} < x < \frac{2}{5}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0.3$

ステップ 5.2.2

$x$ を元の不等式の $0.3$ で置き換えます。

$\log_{\frac{1}{5}} (5 (0.3) - 1) \geq 0$

ステップ 5.2.3

左辺 $0.43067655$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 5.3

区間 $x > \frac{2}{5}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 5.3.1

区間 $x > \frac{2}{5}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 5.3.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$\log_{\frac{1}{5}} (5 (3) - 1) \geq 0$

ステップ 5.3.3

左辺 $- 1.63973851$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 5.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < \frac{1}{5}$ 偽

$\frac{1}{5} < x < \frac{2}{5}$ 真

$x > \frac{2}{5}$ 偽

$x < \frac{1}{5}$ 偽

$\frac{1}{5} < x < \frac{2}{5}$ 真

$x > \frac{2}{5}$ 偽

ステップ 6

解はすべての真の区間からなります。

$\frac{1}{5} < x \leq \frac{2}{5}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$\frac{1}{5} < x \leq \frac{2}{5}$

区間記号：

$(\frac{1}{5}, \frac{2}{5}]$

ステップ 8

代数 例

代数例