代数例

$\sin^{2} (θ) = \cos^{2} (θ) + 1$

ステップ 1

すべての式を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $\cos^{2} (θ)$ を引きます。

$\sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) = 1$

ステップ 1.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) - 1 = 0$

ステップ 2

$\sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) - 1$ を簡約します。

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ステップ 2.1

$- 1$ を移動させます。

$\sin^{2} (θ) - 1 - \cos^{2} (θ) = 0$

ステップ 2.2

$\sin^{2} (θ)$ と $- 1$ を並べ替えます。

$- 1 + \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) = 0$

ステップ 2.3

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$- 1 (1) + \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) = 0$

ステップ 2.4

$- 1$ を $\sin^{2} (θ)$ で因数分解します。

$- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (θ)) - \cos^{2} (θ) = 0$

ステップ 2.5

$- 1$ を $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (θ))$ で因数分解します。

$- 1 (1 - \sin^{2} (θ)) - \cos^{2} (θ) = 0$

ステップ 2.6

$- 1 (1 - \sin^{2} (θ))$ を $- (1 - \sin^{2} (θ))$ に書き換えます。

$- (1 - \sin^{2} (θ)) - \cos^{2} (θ) = 0$

ステップ 2.7

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$- \cos^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) = 0$

ステップ 2.8

$- \cos^{2} (θ)$ から $\cos^{2} (θ)$ を引きます。

$- 2 \cos^{2} (θ) = 0$

ステップ 3

$θ$ について解きます。

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ステップ 3.1

$- 2 \cos^{2} (θ) = 0$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1.1

$- 2 \cos^{2} (θ) = 0$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 \cos^{2} (θ)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

ステップ 3.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 \cos^{2} (θ)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

ステップ 3.1.2.1.2

$\cos^{2} (θ)$ を $1$ で割ります。

$\cos^{2} (θ) = \frac{0}{- 2}$

ステップ 3.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.1.3.1

$0$ を $- 2$ で割ります。

$\cos^{2} (θ) = 0$

ステップ 3.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\cos (θ) = \pm \sqrt{0}$

ステップ 3.3

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\cos (θ) = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 3.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\cos (θ) = \pm 0$

ステップ 3.3.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$\cos (θ) = 0$

ステップ 3.4

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arccos (0)$

ステップ 3.5

右辺を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$θ = \frac{π}{2}$

ステップ 3.6

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$θ = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 3.7

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.7.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 3.7.2

分数をまとめます。

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ステップ 3.7.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 3.7.2.2

公分母の分子をまとめます。

$θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 3.7.3

分子を簡約します。

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ステップ 3.7.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$θ = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 3.7.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$θ = \frac{3 π}{2}$

ステップ 3.8

$\cos (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 3.8.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.8.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 3.8.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 3.8.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 3.9

$\cos (θ)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

答えをまとめます。

$θ = \frac{π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

代数 例

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