代数例

$x^{4} - 4 x^{3} + 8 x \geq 0$

ステップ 1

不等式を方程式に変換します。

$x^{4} - 4 x^{3} + 8 x = 0$

ステップ 2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ を $x^{4} - 4 x^{3} + 8 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{3} - 4 x^{3} + 8 x = 0$

ステップ 2.1.2

$x$ を $- 4 x^{3}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) + 8 x = 0$

ステップ 2.1.3

$x$ を $8 x$ で因数分解します。

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) + x \cdot 8 = 0$

ステップ 2.1.4

$x$ を $x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2})$ で因数分解します。

$x (x^{3} - 4 x^{2}) + x \cdot 8 = 0$

ステップ 2.1.5

$x$ を $x (x^{3} - 4 x^{2}) + x \cdot 8$ で因数分解します。

$x (x^{3} - 4 x^{2} + 8) = 0$

ステップ 2.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

有理根検定を用いて $x^{3} - 4 x^{2} + 8$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

ステップ 2.2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

ステップ 2.2.1.3

$2$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $2$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.1

$2$ を多項式に代入します。

$2^{3} - 4 \cdot 2^{2} + 8$

ステップ 2.2.1.3.2

$2$ を $3$ 乗します。

$8 - 4 \cdot 2^{2} + 8$

ステップ 2.2.1.3.3

$2$ を $2$ 乗します。

$8 - 4 \cdot 4 + 8$

ステップ 2.2.1.3.4

$- 4$ に $4$ をかけます。

$8 - 16 + 8$

ステップ 2.2.1.3.5

$8$ から $16$ を引きます。

$- 8 + 8$

ステップ 2.2.1.3.6

$- 8$ と $8$ をたし算します。

$0$

ステップ 2.2.1.4

$2$ は既知の根なので、多項式を $x - 2$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} + 8}{x - 2}$

ステップ 2.2.1.5

$x^{3} - 4 x^{2} + 8$ を $x - 2$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$8$

ステップ 2.2.1.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$

ステップ 2.2.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

ステップ 2.2.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} - 2 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

ステップ 2.2.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

ステップ 2.2.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

ステップ 2.2.1.5.7

被除数 $- 2 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

ステップ 2.2.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$4 x$

ステップ 2.2.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 2 x^{2} + 4 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$

ステップ 2.2.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$4 x$

ステップ 2.2.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$4 x$	+	$8$

ステップ 2.2.1.5.12

被除数 $- 4 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$4 x$	+	$8$

ステップ 2.2.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$4 x$	+	$8$
							-	$4 x$	+	$8$

ステップ 2.2.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 4 x + 8$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$4 x$	+	$8$
							+	$4 x$	-	$8$

ステップ 2.2.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$4 x$	+	$8$
							+	$4 x$	-	$8$
										$0$

ステップ 2.2.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - 2 x - 4$

ステップ 2.2.1.6

$x^{3} - 4 x^{2} + 8$ を因数の集合として書き換えます。

$x ((x - 2) (x^{2} - 2 x - 4)) = 0$

ステップ 2.2.2

不要な括弧を削除します。

$x (x - 2) (x^{2} - 2 x - 4) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$

ステップ 4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 5

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 6

$x^{2} - 2 x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$x^{2} - 2 x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$

ステップ 6.2

$x$ について $x^{2} - 2 x - 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 6.2.2

$a = 1$ 、 $b = - 2$ 、および $c = - 4$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.3.1.2.2

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.3.1.3

$4$ と $16$ をたし算します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.3.1.4

$20$ を $2^{2} \cdot 5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1.4.1

$4$ を $20$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.3.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.3.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

ステップ 6.2.3.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

ステップ 6.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.4.1.2.2

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.4.1.3

$4$ と $16$ をたし算します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.4.1.4

$20$ を $2^{2} \cdot 5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.1.4.1

$4$ を $20$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.4.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.4.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

ステップ 6.2.4.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

ステップ 6.2.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = 1 + \sqrt{5}$

ステップ 6.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.5.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.5.1.2.2

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.5.1.3

$4$ と $16$ をたし算します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.5.1.4

$20$ を $2^{2} \cdot 5$ に書き換えます。

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ステップ 6.2.5.1.4.1

$4$ を $20$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.5.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

ステップ 6.2.5.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

ステップ 6.2.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = 1 - \sqrt{5}$

ステップ 6.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

ステップ 7

最終解は $x (x - 2) (x^{2} - 2 x - 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 2, 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

ステップ 8

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 1 - \sqrt{5}$

$1 - \sqrt{5} < x < 0$

$0 < x < 2$

$2 < x < 1 + \sqrt{5}$

$x > 1 + \sqrt{5}$

ステップ 9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 9.1

区間 $x < 1 - \sqrt{5}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.1.1

区間 $x < 1 - \sqrt{5}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 9.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

${(- 4)}^{4} - 4 {(- 4)}^{3} + 8 (- 4) \geq 0$

ステップ 9.1.3

左辺 $480$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 9.2

区間 $1 - \sqrt{5} < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

区間 $1 - \sqrt{5} < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 1$

ステップ 9.2.2

$x$ を元の不等式の $- 1$ で置き換えます。

${(- 1)}^{4} - 4 {(- 1)}^{3} + 8 (- 1) \geq 0$

ステップ 9.2.3

左辺 $- 3$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 9.3

区間 $0 < x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.3.1

区間 $0 < x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 1$

ステップ 9.3.2

$x$ を元の不等式の $1$ で置き換えます。

${(1)}^{4} - 4 {(1)}^{3} + 8 (1) \geq 0$

ステップ 9.3.3

左辺 $5$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 9.4

区間 $2 < x < 1 + \sqrt{5}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.4.1

区間 $2 < x < 1 + \sqrt{5}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 9.4.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

${(3)}^{4} - 4 {(3)}^{3} + 8 (3) \geq 0$

ステップ 9.4.3

左辺 $- 3$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 9.5

区間 $x > 1 + \sqrt{5}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.5.1

区間 $x > 1 + \sqrt{5}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 9.5.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

${(6)}^{4} - 4 {(6)}^{3} + 8 (6) \geq 0$

ステップ 9.5.3

左辺 $480$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 9.6

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 1 - \sqrt{5}$ 真

$1 - \sqrt{5} < x < 0$ 偽

$0 < x < 2$ 真

$2 < x < 1 + \sqrt{5}$ 偽

$x > 1 + \sqrt{5}$ 真

$x < 1 - \sqrt{5}$ 真

$1 - \sqrt{5} < x < 0$ 偽

$0 < x < 2$ 真

$2 < x < 1 + \sqrt{5}$ 偽

$x > 1 + \sqrt{5}$ 真

ステップ 10

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq 1 - \sqrt{5}$ または $0 \leq x \leq 2$ または $x \geq 1 + \sqrt{5}$

ステップ 11

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, 1 - \sqrt{5}] \cup [0, 2] \cup [1 + \sqrt{5}, \infty)$

ステップ 12

代数 例

代数例