代数例

$\frac{\tan (\frac{5 π}{8}) - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\tan (\frac{5 π}{8})$ の厳密値は $- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $\frac{5 π}{8}$ を書き直します。

$\frac{\tan (\frac{\frac{5 π}{4}}{2}) - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.1.2

正切半角の公式を当てはめます。

$\frac{\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.1.3

Change the $\pm$ to $-$ because tangent is negative in the second quadrant.

$\frac{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.1.4

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{- \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.1.4.2

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.1.4.3

$- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.1.4.3.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.1.4.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.1.4.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.1.4.6

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (\frac{π}{4})}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.1.4.7

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.1.4.8

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.1.4.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.1.4.10

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.1.4.11

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.11.1

共通因数を約分します。

$\frac{- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.1.4.11.2

式を書き換えます。

$\frac{- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.1.4.12

$\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ に $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ をかけます。

$\frac{- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.1.4.13

$\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ に $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ をかけます。

$\frac{- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.1.4.14

FOIL法を使って分母を展開します。

$\frac{- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.1.4.15

簡約します。

$\frac{- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.1.4.16

分配則を当てはめます。

$\frac{- \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.1.4.17

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.17.1

共通因数を約分します。

$\frac{- \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.1.4.17.2

式を書き換えます。

$\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.1.4.18

$\sqrt{2}$ と $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.1.4.19

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.19.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.1.4.19.2

$2$ を $\sqrt{2}$ の左に移動させます。

$\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.1.4.19.3

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.1.4.19.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.19.4.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.1.4.19.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.1.4.19.4.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.1.4.19.5

$2 \sqrt{2} + 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.19.5.1

$2$ を $2 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{2}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.1.4.19.5.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1}{2}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.1.4.19.5.3

$2$ を $2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ で因数分解します。

$\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.1.4.19.5.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.19.5.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1)}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.1.4.19.5.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 1}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.1.4.19.5.4.3

式を書き換えます。

$\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} + 1}{1}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.1.4.19.5.4.4

$\sqrt{2} + 1$ を $1$ で割ります。

$\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.1.4.20

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- \sqrt{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.1.4.21

$\sqrt{2}$ と $\sqrt{2}$ をたし算します。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.2

$\tan (\frac{3 π}{8})$ の厳密値は $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $\frac{3 π}{8}$ を書き直します。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \tan (\frac{\frac{3 π}{4}}{2})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.2.2

正切半角の公式を当てはめます。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.2.3

正切が第一象限で正なので、 $\pm$ を $+$ に変えます。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.2.4

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.2.4.2

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.2.4.3

$- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.2.4.3.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.2.4.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.2.4.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.2.4.6

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (\frac{π}{4})}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.2.4.7

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.2.4.8

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.2.4.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.2.4.10

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.2.4.11

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.11.1

共通因数を約分します。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.2.4.11.2

式を書き換えます。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.2.4.12

$\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ に $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ をかけます。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.2.4.13

$\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ に $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ をかけます。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.2.4.14

FOIL法を使って分母を展開します。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.2.4.15

簡約します。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.2.4.16

分配則を当てはめます。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.2.4.17

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.17.1

共通因数を約分します。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.2.4.17.2

式を書き換えます。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.2.4.18

$\sqrt{2}$ と $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.2.4.19

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.19.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.2.4.19.2

$2$ を $\sqrt{2}$ の左に移動させます。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.2.4.19.3

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.2.4.19.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.19.4.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.2.4.19.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.2.4.19.4.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.2.4.19.5

$2 \sqrt{2} + 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.19.5.1

$2$ を $2 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.2.4.19.5.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1}{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.2.4.19.5.3

$2$ を $2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ で因数分解します。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.2.4.19.5.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.19.5.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1)}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.2.4.19.5.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 1}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.2.4.19.5.4.3

式を書き換えます。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} + 1}{1}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.2.4.19.5.4.4

$\sqrt{2} + 1$ を $1$ で割ります。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.2.4.20

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.2.4.21

$\sqrt{2}$ と $\sqrt{2}$ をたし算します。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 1.3

$- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ から $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ を引きます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\tan (\frac{5 π}{8})$ の厳密値は $- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $\frac{5 π}{8}$ を書き直します。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 + \tan (\frac{\frac{5 π}{4}}{2}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 2.1.2

正切半角の公式を当てはめます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 + (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 2.1.3

Change the $\pm$ to $-$ because tangent is negative in the second quadrant.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 2.1.4

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 2.1.4.2

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 2.1.4.3

$- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 2.1.4.3.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 2.1.4.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 2.1.4.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 2.1.4.6

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (\frac{π}{4})}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 2.1.4.7

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 2.1.4.8

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 2.1.4.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 2.1.4.10

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 2.1.4.11

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.11.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 2.1.4.11.2

式を書き換えます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 2.1.4.12

$\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ に $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ をかけます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})} \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 2.1.4.13

$\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ に $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ をかけます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 2.1.4.14

FOIL法を使って分母を展開します。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 2.1.4.15

簡約します。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 2.1.4.16

分配則を当てはめます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 2.1.4.17

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.17.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 2.1.4.17.2

式を書き換えます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 2.1.4.18

$\sqrt{2}$ と $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 2.1.4.19

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.19.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 2.1.4.19.2

$2$ を $\sqrt{2}$ の左に移動させます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 2.1.4.19.3

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 2.1.4.19.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.19.4.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 2.1.4.19.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 2.1.4.19.4.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 2.1.4.19.5

$2 \sqrt{2} + 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.19.5.1

$2$ を $2 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{2}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 2.1.4.19.5.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1}{2}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 2.1.4.19.5.3

$2$ を $2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ で因数分解します。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 2.1.4.19.5.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.19.5.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1)}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 2.1.4.19.5.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 1}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 2.1.4.19.5.4.3

式を書き換えます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} + 1}{1}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 2.1.4.19.5.4.4

$\sqrt{2} + 1$ を $1$ で割ります。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1} \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 2.1.4.20

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 2.1.4.21

$\sqrt{2}$ と $\sqrt{2}$ をたし算します。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

ステップ 2.2

$\tan (\frac{3 π}{8})$ の厳密値は $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $\frac{3 π}{8}$ を書き直します。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \tan (\frac{\frac{3 π}{4}}{2})}$

ステップ 2.2.2

正切半角の公式を当てはめます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}})}$

ステップ 2.2.3

正切が第一象限で正なので、 $\pm$ を $+$ に変えます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}}$

ステップ 2.2.4

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}}$

ステップ 2.2.4.2

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}}$

ステップ 2.2.4.3

$- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}}$

ステップ 2.2.4.3.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}}$

ステップ 2.2.4.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}}$

ステップ 2.2.4.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}}$

ステップ 2.2.4.6

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (\frac{π}{4})}}}$

ステップ 2.2.4.7

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

ステップ 2.2.4.8

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

ステップ 2.2.4.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}}$

ステップ 2.2.4.10

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}}$

ステップ 2.2.4.11

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.11.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}}$

ステップ 2.2.4.11.2

式を書き換えます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}}}$

ステップ 2.2.4.12

$\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ に $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ をかけます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})}}$

ステップ 2.2.4.13

$\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ に $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ をかけます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}}$

ステップ 2.2.4.14

FOIL法を使って分母を展開します。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}}$

ステップ 2.2.4.15

簡約します。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 2.2.4.16

分配則を当てはめます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 2.2.4.17

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.17.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 2.2.4.17.2

式を書き換えます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 2.2.4.18

$\sqrt{2}$ と $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

ステップ 2.2.4.19

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.19.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 2.2.4.19.2

$2$ を $\sqrt{2}$ の左に移動させます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 2.2.4.19.3

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}}$

ステップ 2.2.4.19.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.19.4.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}}$

ステップ 2.2.4.19.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}}$

ステップ 2.2.4.19.4.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2}}}$

ステップ 2.2.4.19.5

$2 \sqrt{2} + 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.19.5.1

$2$ を $2 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{2}}}$

ステップ 2.2.4.19.5.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1}{2}}}$

ステップ 2.2.4.19.5.3

$2$ を $2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ で因数分解します。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2}}}$

ステップ 2.2.4.19.5.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.19.5.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1)}}}$

ステップ 2.2.4.19.5.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 1}}}$

ステップ 2.2.4.19.5.4.3

式を書き換えます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} + 1}{1}}}$

ステップ 2.2.4.19.5.4.4

$\sqrt{2} + 1$ を $1$ で割ります。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1}}$

ステップ 2.2.4.20

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}}}$

ステップ 2.2.4.21

$\sqrt{2}$ と $\sqrt{2}$ をたし算します。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}$

ステップ 2.3

$- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - ({\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{1} \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})}$

ステップ 2.3.2

$\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - ({\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{1} {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{1})}$

ステップ 2.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{1 + 1}}$

ステップ 2.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

ステップ 2.4

${\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}$ を $3 + 2 \sqrt{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ を ${(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - {({(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.4.4.2

式を書き換えます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{1}}$

ステップ 2.4.5

簡約します。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - (3 + 2 \sqrt{2})}$

ステップ 2.5

分配則を当てはめます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - 1 \cdot 3 - (2 \sqrt{2})}$

ステップ 2.6

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - 3 - (2 \sqrt{2})}$

ステップ 2.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - 3 - 2 \sqrt{2}}$

ステップ 2.8

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{- 2 - 2 \sqrt{2}}$

ステップ 3

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- 2$ と $- 2 - 2 \sqrt{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$2$ を $- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})}{- 2 - 2 \sqrt{2}}$

ステップ 3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{2 (- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})}{2 (- 1) - 2 \sqrt{2}}$

ステップ 3.1.2.2

$2$ を $- 2 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})}{2 (- 1) + 2 (- \sqrt{2})}$

ステップ 3.1.2.3

$2$ を $2 (- 1) + 2 (- \sqrt{2})$ で因数分解します。

$\frac{2 (- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})}{2 (- 1 - \sqrt{2})}$

ステップ 3.1.2.4

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})}{2 (- 1 - \sqrt{2})}$

ステップ 3.1.2.5

式を書き換えます。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{- 1 - \sqrt{2}}$

ステップ 3.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{- 1 - \sqrt{2}}$

ステップ 4

$\frac{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{- 1 - \sqrt{2}}$ に $\frac{- 1 + \sqrt{2}}{- 1 + \sqrt{2}}$ をかけます。

$- (\frac{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{- 1 - \sqrt{2}} \cdot \frac{- 1 + \sqrt{2}}{- 1 + \sqrt{2}})$

ステップ 5

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\frac{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{- 1 - \sqrt{2}}$ に $\frac{- 1 + \sqrt{2}}{- 1 + \sqrt{2}}$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} (- 1 + \sqrt{2})}{(- 1 - \sqrt{2}) (- 1 + \sqrt{2})}$

ステップ 5.2

FOIL法を使って分母を展開します。

$- \frac{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} (- 1 + \sqrt{2})}{1 - \sqrt{2} + \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

$- \frac{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} (- 1 + \sqrt{2})}{- 1}$

ステップ 5.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$\frac{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} (- 1 + \sqrt{2})}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$- (- 1 \cdot (\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} (- 1 + \sqrt{2})))$

ステップ 5.4.2

$- 1 \cdot (\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} (- 1 + \sqrt{2}))$ を $- (\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} (- 1 + \sqrt{2}))$ に書き換えます。

$- - (\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} (- 1 + \sqrt{2}))$

ステップ 5.5

分配則を当てはめます。

$- - (\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \cdot - 1 + \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2})$

ステップ 5.6

$- 1$ を $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ の左に移動させます。

$- - (- 1 \cdot \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} + \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2})$

ステップ 5.7

根の積の法則を使ってまとめます。

$- - (- 1 \cdot \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} + \sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \cdot 2})$

ステップ 6

$- 1 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ を $- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ に書き換えます。

$- - (- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} + \sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \cdot 2})$

ステップ 7

分配則を当てはめます。

$- (- - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \cdot 2})$

ステップ 8

$- - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- (1 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \cdot 2})$

ステップ 8.2

$\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ に $1$ をかけます。

$- (\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \cdot 2})$

ステップ 9

分配則を当てはめます。

$- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - - \sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \cdot 2}$

ステップ 10

$- - \sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \cdot 2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} + 1 \sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \cdot 2}$

ステップ 10.2

$\sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \cdot 2}$ に $1$ をかけます。

$- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} + \sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \cdot 2}$

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} + \sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \cdot 2}$

10進法形式：

$1$

代数 例

代数例