代数例

$5 x^{2} + 13 x + 3 > 9$

ステップ 1

不等式を方程式に変換します。

$5 x^{2} + 13 x + 3 = 9$

ステップ 2

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$5 x^{2} + 13 x + 3 - 9 = 0$

ステップ 3

$3$ から $9$ を引きます。

$5 x^{2} + 13 x - 6 = 0$

ステップ 4

群による因数分解。

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ステップ 4.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 5 \cdot - 6 = - 30$ で和が $b = 13$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 4.1.1

$13$ を $13 x$ で因数分解します。

$5 x^{2} + 13 (x) - 6 = 0$

ステップ 4.1.2

$13$ を $- 2$ プラス $15$ に書き換える

$5 x^{2} + (- 2 + 15) x - 6 = 0$

ステップ 4.1.3

分配則を当てはめます。

$5 x^{2} - 2 x + 15 x - 6 = 0$

ステップ 4.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 4.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(5 x^{2} - 2 x) + 15 x - 6 = 0$

ステップ 4.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x (5 x - 2) + 3 (5 x - 2) = 0$

ステップ 4.3

最大公約数 $5 x - 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(5 x - 2) (x + 3) = 0$

ステップ 5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$5 x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 6

$5 x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$5 x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$5 x - 2 = 0$

ステップ 6.2

$x$ について $5 x - 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$5 x = 2$

ステップ 6.2.2

$5 x = 2$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$5 x = 2$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

ステップ 6.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

ステップ 6.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{2}{5}$

ステップ 7

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 7.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 8

最終解は $(5 x - 2) (x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{2}{5}, - 3$

ステップ 9

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 3$

$- 3 < x < \frac{2}{5}$

$x > \frac{2}{5}$

ステップ 10

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 10.1

区間 $x < - 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.1.1

区間 $x < - 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 10.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$5 {(- 6)}^{2} + 13 (- 6) + 3 > 9$

ステップ 10.1.3

左辺 $105$ は右辺 $9$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 10.2

区間 $- 3 < x < \frac{2}{5}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.2.1

区間 $- 3 < x < \frac{2}{5}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 10.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$5 {(0)}^{2} + 13 (0) + 3 > 9$

ステップ 10.2.3

左辺 $3$ は右辺 $9$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 10.3

区間 $x > \frac{2}{5}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.3.1

区間 $x > \frac{2}{5}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 10.3.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$5 {(3)}^{2} + 13 (3) + 3 > 9$

ステップ 10.3.3

左辺 $87$ は右辺 $9$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 10.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 3$ 真

$- 3 < x < \frac{2}{5}$ 偽

$x > \frac{2}{5}$ 真

$x < - 3$ 真

$- 3 < x < \frac{2}{5}$ 偽

$x > \frac{2}{5}$ 真

ステップ 11

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 3$ または $x > \frac{2}{5}$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$x < - 3 or x > \frac{2}{5}$

区間記号：

$(- \infty, - 3) \cup (\frac{2}{5}, \infty)$

ステップ 13

代数 例

代数例