代数例

$x^{5} = 18 x^{3} - 81 x$

ステップ 1

$x$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$18 x^{3} - 81 x = x^{5}$

ステップ 2

方程式の両辺から $x^{5}$ を引きます。

$18 x^{3} - 81 x - x^{5} = 0$

ステップ 3

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.1

$- x$ を $18 x^{3} - 81 x - x^{5}$ で因数分解します。

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ステップ 3.1.1

式を並べ替えます。

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ステップ 3.1.1.1

$- 81 x$ を移動させます。

$18 x^{3} - x^{5} - 81 x = 0$

ステップ 3.1.1.2

$18 x^{3}$ と $- x^{5}$ を並べ替えます。

$- x^{5} + 18 x^{3} - 81 x = 0$

ステップ 3.1.2

$- x$ を $- x^{5}$ で因数分解します。

$- x \cdot x^{4} + 18 x^{3} - 81 x = 0$

ステップ 3.1.3

$- x$ を $18 x^{3}$ で因数分解します。

$- x \cdot x^{4} - x (- 18 x^{2}) - 81 x = 0$

ステップ 3.1.4

$- x$ を $- 81 x$ で因数分解します。

$- x \cdot x^{4} - x (- 18 x^{2}) - x \cdot 81 = 0$

ステップ 3.1.5

$- x$ を $- x (x^{4}) - x (- 18 x^{2})$ で因数分解します。

$- x (x^{4} - 18 x^{2}) - x \cdot 81 = 0$

ステップ 3.1.6

$- x$ を $- x (x^{4} - 18 x^{2}) - x (81)$ で因数分解します。

$- x (x^{4} - 18 x^{2} + 81) = 0$

ステップ 3.2

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$- x ({(x^{2})}^{2} - 18 x^{2} + 81) = 0$

ステップ 3.3

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$- x (u^{2} - 18 u + 81) = 0$

ステップ 3.4

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 3.4.1

$81$ を $9^{2}$ に書き換えます。

$- x (u^{2} - 18 u + 9^{2}) = 0$

ステップ 3.4.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$18 u = 2 \cdot u \cdot 9$

ステップ 3.4.3

多項式を書き換えます。

$- x (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 9 + 9^{2}) = 0$

ステップ 3.4.4

$a = u$ と $b = 9$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$- x {(u - 9)}^{2} = 0$

ステップ 3.5

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$- x {(x^{2} - 9)}^{2} = 0$

ステップ 3.6

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$- x {(x^{2} - 3^{2})}^{2} = 0$

ステップ 3.7

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$- x {((x + 3) (x - 3))}^{2} = 0$

ステップ 3.8

因数分解。

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ステップ 3.8.1

積の法則を $(x + 3) (x - 3)$ に当てはめます。

$- x ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}) = 0$

ステップ 3.8.2

不要な括弧を削除します。

$- x {(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

ステップ 5

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 6

${(x + 3)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

${(x + 3)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x + 3)}^{2} = 0$

ステップ 6.2

$x$ について ${(x + 3)}^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 6.2.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 7

${(x - 3)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.1

${(x - 3)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 3)}^{2} = 0$

ステップ 7.2

$x$ について ${(x - 3)}^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 7.2.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 7.2.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 8

最終解は $- x {(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 3, 3$

代数 例

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