代数例

$\sqrt{8 - p} = 2 + \sqrt{2 p + 3}$

ステップ 1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{8 - p}}^{2} = {(2 + \sqrt{2 p + 3})}^{2}$

ステップ 2

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{8 - p}$ を ${(8 - p)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(8 - p)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 + \sqrt{2 p + 3})}^{2}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

${({(8 - p)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

${({(8 - p)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(8 - p)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 + \sqrt{2 p + 3})}^{2}$

ステップ 2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(8 - p)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 + \sqrt{2 p + 3})}^{2}$

ステップ 2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(8 - p)}^{1} = {(2 + \sqrt{2 p + 3})}^{2}$

ステップ 2.2.1.2

簡約します。

$8 - p = {(2 + \sqrt{2 p + 3})}^{2}$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

${(2 + \sqrt{2 p + 3})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

${(2 + \sqrt{2 p + 3})}^{2}$ を $(2 + \sqrt{2 p + 3}) (2 + \sqrt{2 p + 3})$ に書き換えます。

$8 - p = (2 + \sqrt{2 p + 3}) (2 + \sqrt{2 p + 3})$

ステップ 2.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(2 + \sqrt{2 p + 3}) (2 + \sqrt{2 p + 3})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$8 - p = 2 (2 + \sqrt{2 p + 3}) + \sqrt{2 p + 3} (2 + \sqrt{2 p + 3})$

ステップ 2.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$8 - p = 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2 p + 3} + \sqrt{2 p + 3} (2 + \sqrt{2 p + 3})$

ステップ 2.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$8 - p = 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2 p + 3} + \sqrt{2 p + 3} \cdot 2 + \sqrt{2 p + 3} \sqrt{2 p + 3}$

ステップ 2.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.1.1

$2$ に $2$ をかけます。

$8 - p = 4 + 2 \sqrt{2 p + 3} + \sqrt{2 p + 3} \cdot 2 + \sqrt{2 p + 3} \sqrt{2 p + 3}$

ステップ 2.3.1.3.1.2

$2$ を $\sqrt{2 p + 3}$ の左に移動させます。

$8 - p = 4 + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 \cdot \sqrt{2 p + 3} + \sqrt{2 p + 3} \sqrt{2 p + 3}$

ステップ 2.3.1.3.1.3

$\sqrt{2 p + 3} \sqrt{2 p + 3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.1.3.1

$\sqrt{2 p + 3}$ を $1$ 乗します。

$8 - p = 4 + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 \sqrt{2 p + 3} + {\sqrt{2 p + 3}}^{1} \sqrt{2 p + 3}$

ステップ 2.3.1.3.1.3.2

$\sqrt{2 p + 3}$ を $1$ 乗します。

$8 - p = 4 + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 \sqrt{2 p + 3} + {\sqrt{2 p + 3}}^{1} {\sqrt{2 p + 3}}^{1}$

ステップ 2.3.1.3.1.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$8 - p = 4 + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 \sqrt{2 p + 3} + {\sqrt{2 p + 3}}^{1 + 1}$

ステップ 2.3.1.3.1.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$8 - p = 4 + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 \sqrt{2 p + 3} + {\sqrt{2 p + 3}}^{2}$

ステップ 2.3.1.3.1.4

${\sqrt{2 p + 3}}^{2}$ を $2 p + 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 p + 3}$ を ${(2 p + 3)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$8 - p = 4 + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 \sqrt{2 p + 3} + {({(2 p + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

ステップ 2.3.1.3.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$8 - p = 4 + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 \sqrt{2 p + 3} + {(2 p + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

ステップ 2.3.1.3.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$8 - p = 4 + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 \sqrt{2 p + 3} + {(2 p + 3)}^{\frac{2}{2}}$

ステップ 2.3.1.3.1.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.1.4.4.1

共通因数を約分します。

$8 - p = 4 + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 \sqrt{2 p + 3} + {(2 p + 3)}^{\frac{2}{2}}$

ステップ 2.3.1.3.1.4.4.2

式を書き換えます。

$8 - p = 4 + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 \sqrt{2 p + 3} + {(2 p + 3)}^{1}$

ステップ 2.3.1.3.1.4.5

簡約します。

$8 - p = 4 + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 p + 3$

ステップ 2.3.1.3.2

$4$ と $3$ をたし算します。

$8 - p = 7 + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 p$

ステップ 2.3.1.3.3

$2 \sqrt{2 p + 3}$ と $2 \sqrt{2 p + 3}$ をたし算します。

$8 - p = 7 + 4 \sqrt{2 p + 3} + 2 p$

ステップ 3

$4 \sqrt{2 p + 3}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $7 + 4 \sqrt{2 p + 3} + 2 p = 8 - p$ として書き換えます。

$7 + 4 \sqrt{2 p + 3} + 2 p = 8 - p$

ステップ 3.2

$4 \sqrt{2 p + 3}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

方程式の両辺から $7$ を引きます。

$4 \sqrt{2 p + 3} + 2 p = 8 - p - 7$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺から $2 p$ を引きます。

$4 \sqrt{2 p + 3} = 8 - p - 7 - 2 p$

ステップ 3.2.3

$8$ から $7$ を引きます。

$4 \sqrt{2 p + 3} = - p + 1 - 2 p$

ステップ 3.2.4

$- p$ から $2 p$ を引きます。

$4 \sqrt{2 p + 3} = - 3 p + 1$

ステップ 4

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${(4 \sqrt{2 p + 3})}^{2} = {(- 3 p + 1)}^{2}$

ステップ 5

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 p + 3}$ を ${(2 p + 3)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(4 {(2 p + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3 p + 1)}^{2}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

${(4 {(2 p + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

積の法則を $4 {(2 p + 3)}^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

$4^{2} {({(2 p + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3 p + 1)}^{2}$

ステップ 5.2.1.2

$4$ を $2$ 乗します。

$16 {({(2 p + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3 p + 1)}^{2}$

ステップ 5.2.1.3

${({(2 p + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$16 {(2 p + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3 p + 1)}^{2}$

ステップ 5.2.1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$16 {(2 p + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3 p + 1)}^{2}$

ステップ 5.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$16 {(2 p + 3)}^{1} = {(- 3 p + 1)}^{2}$

ステップ 5.2.1.4

簡約します。

$16 (2 p + 3) = {(- 3 p + 1)}^{2}$

ステップ 5.2.1.5

分配則を当てはめます。

$16 (2 p) + 16 \cdot 3 = {(- 3 p + 1)}^{2}$

ステップ 5.2.1.6

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.6.1

$2$ に $16$ をかけます。

$32 p + 16 \cdot 3 = {(- 3 p + 1)}^{2}$

ステップ 5.2.1.6.2

$16$ に $3$ をかけます。

$32 p + 48 = {(- 3 p + 1)}^{2}$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

${(- 3 p + 1)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

${(- 3 p + 1)}^{2}$ を $(- 3 p + 1) (- 3 p + 1)$ に書き換えます。

$32 p + 48 = (- 3 p + 1) (- 3 p + 1)$

ステップ 5.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- 3 p + 1) (- 3 p + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$32 p + 48 = - 3 p (- 3 p + 1) + 1 (- 3 p + 1)$

ステップ 5.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$32 p + 48 = - 3 p (- 3 p) - 3 p \cdot 1 + 1 (- 3 p + 1)$

ステップ 5.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$32 p + 48 = - 3 p (- 3 p) - 3 p \cdot 1 + 1 (- 3 p) + 1 \cdot 1$

ステップ 5.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$32 p + 48 = - 3 \cdot - 3 p \cdot p - 3 p \cdot 1 + 1 (- 3 p) + 1 \cdot 1$

ステップ 5.3.1.3.1.2

指数を足して $p$ に $p$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.3.1.2.1

$p$ を移動させます。

$32 p + 48 = - 3 \cdot - 3 (p \cdot p) - 3 p \cdot 1 + 1 (- 3 p) + 1 \cdot 1$

ステップ 5.3.1.3.1.2.2

$p$ に $p$ をかけます。

$32 p + 48 = - 3 \cdot - 3 p^{2} - 3 p \cdot 1 + 1 (- 3 p) + 1 \cdot 1$

ステップ 5.3.1.3.1.3

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$32 p + 48 = 9 p^{2} - 3 p \cdot 1 + 1 (- 3 p) + 1 \cdot 1$

ステップ 5.3.1.3.1.4

$- 3$ に $1$ をかけます。

$32 p + 48 = 9 p^{2} - 3 p + 1 (- 3 p) + 1 \cdot 1$

ステップ 5.3.1.3.1.5

$- 3 p$ に $1$ をかけます。

$32 p + 48 = 9 p^{2} - 3 p - 3 p + 1 \cdot 1$

ステップ 5.3.1.3.1.6

$1$ に $1$ をかけます。

$32 p + 48 = 9 p^{2} - 3 p - 3 p + 1$

ステップ 5.3.1.3.2

$- 3 p$ から $3 p$ を引きます。

$32 p + 48 = 9 p^{2} - 6 p + 1$

ステップ 6

$p$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$p$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$9 p^{2} - 6 p + 1 = 32 p + 48$

ステップ 6.2

$p$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

方程式の両辺から $32 p$ を引きます。

$9 p^{2} - 6 p + 1 - 32 p = 48$

ステップ 6.2.2

$- 6 p$ から $32 p$ を引きます。

$9 p^{2} - 38 p + 1 = 48$

ステップ 6.3

方程式の両辺から $48$ を引きます。

$9 p^{2} - 38 p + 1 - 48 = 0$

ステップ 6.4

$1$ から $48$ を引きます。

$9 p^{2} - 38 p - 47 = 0$

ステップ 6.5

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 9 \cdot - 47 = - 423$ で和が $b = - 38$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1.1

$- 38$ を $- 38 p$ で因数分解します。

$9 p^{2} - 38 p - 47 = 0$

ステップ 6.5.1.2

$- 38$ を $9$ プラス $- 47$ に書き換える

$9 p^{2} + (9 - 47) p - 47 = 0$

ステップ 6.5.1.3

分配則を当てはめます。

$9 p^{2} + 9 p - 47 p - 47 = 0$

ステップ 6.5.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(9 p^{2} + 9 p) - 47 p - 47 = 0$

ステップ 6.5.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$9 p (p + 1) - 47 (p + 1) = 0$

ステップ 6.5.3

最大公約数 $p + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(p + 1) (9 p - 47) = 0$

ステップ 6.6

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$p + 1 = 0$

$9 p - 47 = 0$

ステップ 6.7

$p + 1$ を $0$ に等しくし、 $p$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.1

$p + 1$ が $0$ に等しいとします。

$p + 1 = 0$

ステップ 6.7.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$p = - 1$

ステップ 6.8

$9 p - 47$ を $0$ に等しくし、 $p$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.1

$9 p - 47$ が $0$ に等しいとします。

$9 p - 47 = 0$

ステップ 6.8.2

$p$ について $9 p - 47 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.2.1

方程式の両辺に $47$ を足します。

$9 p = 47$

ステップ 6.8.2.2

$9 p = 47$ の各項を $9$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.2.2.1

$9 p = 47$ の各項を $9$ で割ります。

$\frac{9 p}{9} = \frac{47}{9}$

ステップ 6.8.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.2.2.2.1

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 p}{9} = \frac{47}{9}$

ステップ 6.8.2.2.2.1.2

$p$ を $1$ で割ります。

$p = \frac{47}{9}$

ステップ 6.9

最終解は $(p + 1) (9 p - 47) = 0$ を真にするすべての値です。

$p = - 1, \frac{47}{9}$

ステップ 7

$\sqrt{8 - p} = 2 + \sqrt{2 p + 3}$ が真にならない解を除外します。

$p = - 1$

代数 例

代数例