代数例

$f (x) = \arcsin (\cos (x))$

ステップ 1

$\arcsin (\cos (x))$ の偏角を $- 1$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$\cos (x) \geq - 1$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x \geq \arccos (- 1)$

ステップ 2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$\arccos (- 1)$ の厳密値は $π$ です。

$x \geq π$

ステップ 2.3

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π - π$

ステップ 2.4

$2 π$ から $π$ を引きます。

$x = π$

ステップ 2.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 2.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.7

各根を利用して検定区間を作成します。

$π < x < 3 π$

ステップ 2.8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 2.8.1

区間 $π < x < 3 π$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.8.1.1

区間 $π < x < 3 π$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 2.8.1.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$\cos (6) \geq - 1$

ステップ 2.8.1.3

左辺 $0.96017028$ は右辺 $- 1$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 2.8.2

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$π < x < 3 π$ 真

ステップ 2.9

解はすべての真の区間からなります。

$π + 2 π n \leq x \leq 3 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

$\arcsin (\cos (x))$ の偏角を $1$ 以下として、式が定義である場所を求めます。

$\cos (x) \leq 1$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x \leq \arccos (1)$

ステップ 4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$\arccos (1)$ の厳密値は $0$ です。

$x \leq 0$

ステップ 4.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - 0$

ステップ 4.4

$2 π$ から $0$ を引きます。

$x = 2 π$

ステップ 4.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 4.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 4.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 4.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 4.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4.7

答えをまとめます。

$x = 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4.8

各根を利用して検定区間を作成します。

$0 < x < 2 π$

ステップ 4.9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.1

区間 $0 < x < 2 π$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.1.1

区間 $0 < x < 2 π$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 4.9.1.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$\cos (3) \leq 1$

ステップ 4.9.1.3

左辺 $- 0.98999249$ は右辺 $1$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 4.9.2

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$0 < x < 2 π$ 真

ステップ 4.10

解はすべての真の区間からなります。

$0 + 2 π n \leq x \leq 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

集合の内包的記法：

${x | x = π + 2 π n, x = 3 π + 2 π n, x = 0 + 2 π n, x = 2 π + 2 π n}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

集合の内包的記法：

${y | - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}}$

ステップ 7

定義域と値域を判定します。

定義域： $n$ 、任意の整数 ${x | x = π + 2 π n, x = 3 π + 2 π n, x = 0 + 2 π n, x = 2 π + 2 π n}$ について

値域： $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}], {y | - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}}$

ステップ 8

代数 例

代数例