代数例

$\cos (x) \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x \geq \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$x \geq \frac{π}{4}$

ステップ 3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

ステップ 4

$2 π - \frac{π}{4}$ を簡約します。

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ステップ 4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 4.2

分数をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$2 π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

ステップ 4.3

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{8 π - π}{4}$

ステップ 4.3.2

$8 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{7 π}{4}$

ステップ 5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

各根を利用して検定区間を作成します。

$\frac{π}{4} < x < \frac{7 π}{4}$

$\frac{7 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$

$\frac{9 π}{4} < x < \frac{15 π}{4}$

ステップ 8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 8.1

区間 $\frac{π}{4} < x < \frac{7 π}{4}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.1.1

区間 $\frac{π}{4} < x < \frac{7 π}{4}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 8.1.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$\cos (3) \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 8.1.3

左辺 $- 0.98999249$ は右辺 $0.70710678$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 8.2

区間 $\frac{7 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.2.1

区間 $\frac{7 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 8.2.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$\cos (6) \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 8.2.3

左辺 $0.96017028$ は右辺 $0.70710678$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 8.3

区間 $\frac{9 π}{4} < x < \frac{15 π}{4}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.3.1

区間 $\frac{9 π}{4} < x < \frac{15 π}{4}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 9$

ステップ 8.3.2

$x$ を元の不等式の $9$ で置き換えます。

$\cos (9) \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 8.3.3

左辺 $- 0.91113026$ は右辺 $0.70710678$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 8.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$\frac{π}{4} < x < \frac{7 π}{4}$ 偽

$\frac{7 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$ 真

$\frac{9 π}{4} < x < \frac{15 π}{4}$ 偽

$\frac{π}{4} < x < \frac{7 π}{4}$ 偽

$\frac{7 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$ 真

$\frac{9 π}{4} < x < \frac{15 π}{4}$ 偽

ステップ 9

解はすべての真の区間からなります。

$\frac{7 π}{4} + 2 π n \leq x \leq \frac{9 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 10

代数 例

代数例