代数例

$z^{6} - 9 z^{3} + 8$

ステップ 1

$z^{6}$ を ${(z^{3})}^{2}$ に書き換えます。

${(z^{3})}^{2} - 9 z^{3} + 8$

ステップ 2

$u = z^{3}$ とします。 $u$ を $z^{3}$ に代入します。

$u^{2} - 9 u + 8$

ステップ 3

たすき掛けを利用して $u^{2} - 9 u + 8$ を因数分解します。

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ステップ 3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $8$ で、その和が $- 9$ です。

$- 8, - 1$

ステップ 3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 8) (u - 1)$

ステップ 4

$u$ のすべての発生を $z^{3}$ で置き換えます。

$(z^{3} - 8) (z^{3} - 1)$

ステップ 5

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$(z^{3} - 2^{3}) (z^{3} - 1)$

ステップ 6

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = z$ であり、 $b = 2$ です。

$(z - 2) (z^{2} + z \cdot 2 + 2^{2}) (z^{3} - 1)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$2$ を $z$ の左に移動させます。

$(z - 2) (z^{2} + 2 z + 2^{2}) (z^{3} - 1)$

ステップ 7.2

$2$ を $2$ 乗します。

$(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4) (z^{3} - 1)$

ステップ 8

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4) (z^{3} - 1^{3})$

ステップ 9

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = z$ であり、 $b = 1$ です。

$(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4) ((z - 1) (z^{2} + z \cdot 1 + 1^{2}))$

ステップ 10

因数分解。

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ステップ 10.1

簡約します。

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ステップ 10.1.1

$z$ に $1$ をかけます。

$(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4) ((z - 1) (z^{2} + z + 1^{2}))$

ステップ 10.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4) ((z - 1) (z^{2} + z + 1))$

ステップ 10.2

不要な括弧を削除します。

$(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4) (z - 1) (z^{2} + z + 1)$

代数 例

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