代数例

$x^{2} - 4 x + 2 > 0$

ステップ 1

不等式を方程式に変換します。

$x^{2} - 4 x + 2 = 0$

ステップ 2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3

$a = 1$ 、 $b = - 4$ 、および $c = 2$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.2.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.3

$16$ から $8$ を引きます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.4

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.3

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

$x = 2 \pm \sqrt{2}$

ステップ 5

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.2.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.3

$16$ から $8$ を引きます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.4

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 5.3

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

$x = 2 \pm \sqrt{2}$

ステップ 5.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = 2 + \sqrt{2}$

ステップ 6

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.2.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.3

$16$ から $8$ を引きます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.4

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 6.3

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

$x = 2 \pm \sqrt{2}$

ステップ 6.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = 2 - \sqrt{2}$

ステップ 7

解をまとめます。

$x = 2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2}$

ステップ 8

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 2 - \sqrt{2}$

$2 - \sqrt{2} < x < 2 + \sqrt{2}$

$x > 2 + \sqrt{2}$

ステップ 9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

区間 $x < 2 - \sqrt{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

区間 $x < 2 - \sqrt{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 9.1.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

${(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 2 > 0$

ステップ 9.1.3

左辺 $2$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 9.2

区間 $2 - \sqrt{2} < x < 2 + \sqrt{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

区間 $2 - \sqrt{2} < x < 2 + \sqrt{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 9.2.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

${(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 2 > 0$

ステップ 9.2.3

左辺 $- 2$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 9.3

区間 $x > 2 + \sqrt{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

区間 $x > 2 + \sqrt{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 9.3.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

${(6)}^{2} - 4 \cdot 6 + 2 > 0$

ステップ 9.3.3

左辺 $14$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 9.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 2 - \sqrt{2}$ 真

$2 - \sqrt{2} < x < 2 + \sqrt{2}$ 偽

$x > 2 + \sqrt{2}$ 真

$x < 2 - \sqrt{2}$ 真

$2 - \sqrt{2} < x < 2 + \sqrt{2}$ 偽

$x > 2 + \sqrt{2}$ 真

ステップ 10

解はすべての真の区間からなります。

$x < 2 - \sqrt{2}$ または $x > 2 + \sqrt{2}$

ステップ 11

代数 例

代数例