代数例

$\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3}{4} \cdot (\log_{5} (405) - \log_{5} (5))$

ステップ 1

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\frac{3}{4} \cdot (\log_{5} (405) - \log_{5} (5))$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分配則を当てはめます。

$\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3}{4} \log_{5} (405) + \frac{3}{4} (- \log_{5} (5))$

ステップ 1.1.2

$\frac{3}{4}$ と $\log_{5} (405)$ をまとめます。

$\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} + \frac{3}{4} (- \log_{5} (5))$

ステップ 1.1.3

$\frac{3}{4}$ と $\log_{5} (5)$ をまとめます。

$\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} - \frac{3 \log_{5} (5)}{4}$

ステップ 2

$\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} - \frac{3 \log_{5} (5)}{4}$ の各項に $4$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} - \frac{3 \log_{5} (5)}{4}$ の各項に $4$ を掛けます。

$\log_{5} (3 k + 12) \cdot 4 = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} \cdot 4 - \frac{3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$4$ を $\log_{5} (3 k + 12)$ の左に移動させます。

$4 \log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} \cdot 4 - \frac{3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$4 \log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} \cdot 4 - \frac{3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

ステップ 2.3.1.1.2

式を書き換えます。

$4 \log_{5} (3 k + 12) = 3 \log_{5} (405) - \frac{3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

ステップ 2.3.1.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1

$- \frac{3 \log_{5} (5)}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$4 \log_{5} (3 k + 12) = 3 \log_{5} (405) + \frac{- 3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

ステップ 2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$4 \log_{5} (3 k + 12) = 3 \log_{5} (405) + \frac{- 3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

ステップ 2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$4 \log_{5} (3 k + 12) = 3 \log_{5} (405) - 3 \log_{5} (5)$

ステップ 3

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1

対数の中の $4$ を移動させて $4 \log_{5} (3 k + 12)$ を簡約します。

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) = 3 \log_{5} (405) - 3 \log_{5} (5)$

ステップ 4

右辺を簡約します。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

対数の中の $3$ を移動させて $3 \log_{5} (405)$ を簡約します。

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) = \log_{5} (405^{3}) - 3 \log_{5} (5)$

ステップ 4.1.2

$405$ を $3$ 乗します。

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) = \log_{5} (66430125) - 3 \log_{5} (5)$

ステップ 4.1.3

$5$ の対数の底 $5$ は $1$ です。

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) = \log_{5} (66430125) - 3 \cdot 1$

ステップ 4.1.4

$- 3$ に $1$ をかけます。

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) = \log_{5} (66430125) - 3$

ステップ 5

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) - \log_{5} (66430125) = - 3$

ステップ 6

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\log_{5} (\frac{{(3 k + 12)}^{4}}{66430125}) = - 3$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$3$ を $3 k + 12$ で因数分解します。

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ステップ 7.1.1

$3$ を $3 k$ で因数分解します。

$\log_{5} (\frac{{(3 (k) + 12)}^{4}}{66430125}) = - 3$

ステップ 7.1.2

$3$ を $12$ で因数分解します。

$\log_{5} (\frac{{(3 k + 3 \cdot 4)}^{4}}{66430125}) = - 3$

ステップ 7.1.3

$3$ を $3 k + 3 \cdot 4$ で因数分解します。

$\log_{5} (\frac{{(3 (k + 4))}^{4}}{66430125}) = - 3$

ステップ 7.2

積の法則を $3 (k + 4)$ に当てはめます。

$\log_{5} (\frac{3^{4} {(k + 4)}^{4}}{66430125}) = - 3$

ステップ 7.3

$3$ を $4$ 乗します。

$\log_{5} (\frac{81 {(k + 4)}^{4}}{66430125}) = - 3$

ステップ 8

$81$ と $66430125$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.1

$81$ を $81 {(k + 4)}^{4}$ で因数分解します。

$\log_{5} (\frac{81 ({(k + 4)}^{4})}{66430125}) = - 3$

ステップ 8.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1

$81$ を $66430125$ で因数分解します。

$\log_{5} (\frac{81 {(k + 4)}^{4}}{81 \cdot 820125}) = - 3$

ステップ 8.2.2

共通因数を約分します。

$\log_{5} (\frac{81 {(k + 4)}^{4}}{81 \cdot 820125}) = - 3$

ステップ 8.2.3

式を書き換えます。

$\log_{5} (\frac{{(k + 4)}^{4}}{820125}) = - 3$

ステップ 9

対数の定義を利用して $\log_{5} (\frac{{(k + 4)}^{4}}{820125}) = - 3$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$5^{- 3} = \frac{{(k + 4)}^{4}}{820125}$

ステップ 10

$k$ について解きます。

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ステップ 10.1

方程式を $\frac{{(k + 4)}^{4}}{820125} = 5^{- 3}$ として書き換えます。

$\frac{{(k + 4)}^{4}}{820125} = 5^{- 3}$

ステップ 10.2

方程式の両辺に $820125$ を掛けます。

$820125 \frac{{(k + 4)}^{4}}{820125} = 820125 \cdot 5^{- 3}$

ステップ 10.3

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 10.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1.1

$820125$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$820125 \frac{{(k + 4)}^{4}}{820125} = 820125 \cdot 5^{- 3}$

ステップ 10.3.1.1.2

式を書き換えます。

${(k + 4)}^{4} = 820125 \cdot 5^{- 3}$

ステップ 10.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1

$820125 \cdot 5^{- 3}$ を簡約します。

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ステップ 10.3.2.1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

${(k + 4)}^{4} = 820125 \cdot \frac{1}{5^{3}}$

ステップ 10.3.2.1.2

$5$ を $3$ 乗します。

${(k + 4)}^{4} = 820125 \cdot \frac{1}{125}$

ステップ 10.3.2.1.3

$125$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.3.2.1.3.1

$125$ を $820125$ で因数分解します。

${(k + 4)}^{4} = 125 (6561) \cdot \frac{1}{125}$

ステップ 10.3.2.1.3.2

共通因数を約分します。

${(k + 4)}^{4} = 125 \cdot 6561 \cdot \frac{1}{125}$

ステップ 10.3.2.1.3.3

式を書き換えます。

${(k + 4)}^{4} = 6561$

ステップ 10.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$k + 4 = \pm \sqrt[4]{6561}$

ステップ 10.5

$\pm \sqrt[4]{6561}$ を簡約します。

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ステップ 10.5.1

$6561$ を $9^{4}$ に書き換えます。

$k + 4 = \pm \sqrt[4]{9^{4}}$

ステップ 10.5.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$k + 4 = \pm 9$

ステップ 10.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 10.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$k + 4 = 9$

ステップ 10.6.2

$k$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 10.6.2.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$k = 9 - 4$

ステップ 10.6.2.2

$9$ から $4$ を引きます。

$k = 5$

ステップ 10.6.3

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$k + 4 = - 9$

ステップ 10.6.4

$k$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 10.6.4.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$k = - 9 - 4$

ステップ 10.6.4.2

$- 9$ から $4$ を引きます。

$k = - 13$

ステップ 10.6.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$k = 5, - 13$

ステップ 11

$\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3}{4} \cdot (\log_{5} (405) - \log_{5} (5))$ が真にならない解を除外します。

$k = 5$

代数 例

代数例