代数例

$\frac{1 + \sqrt{5}}{5 + \sqrt{5}}$

ステップ 1

$\frac{1 + \sqrt{5}}{5 + \sqrt{5}}$ に $\frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}$ をかけます。

$\frac{1 + \sqrt{5}}{5 + \sqrt{5}} \cdot \frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}$

ステップ 2

分数をまとめます。

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ステップ 2.1

$\frac{1 + \sqrt{5}}{5 + \sqrt{5}}$ に $\frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}$ をかけます。

$\frac{(1 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}{(5 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}$

ステップ 2.2

FOIL法を使って分母を展開します。

$\frac{(1 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}{25 - 5 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 5 - {\sqrt{5}}^{2}}$

ステップ 2.3

簡約します。

$\frac{(1 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}{20}$

ステップ 3

分子を簡約します。

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ステップ 3.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})$ を展開します。

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ステップ 3.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 (5 - \sqrt{5}) + \sqrt{5} (5 - \sqrt{5})}{20}$

ステップ 3.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1 \cdot 5 + 1 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} (5 - \sqrt{5})}{20}$

ステップ 3.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1 \cdot 5 + 1 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}$

ステップ 3.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$5$ に $1$ をかけます。

$\frac{5 + 1 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}$

ステップ 3.2.1.2

$- \sqrt{5}$ に $1$ をかけます。

$\frac{5 - \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}$

ステップ 3.2.1.3

$5$ を $\sqrt{5}$ の左に移動させます。

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}$

ステップ 3.2.1.4

$\sqrt{5} (- \sqrt{5})$ を掛けます。

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ステップ 3.2.1.4.1

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}{20}$

ステップ 3.2.1.4.2

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}{20}$

ステップ 3.2.1.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{1 + 1}}{20}$

ステップ 3.2.1.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2}}{20}$

ステップ 3.2.1.5

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

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ステップ 3.2.1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{20}$

ステップ 3.2.1.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{20}$

ステップ 3.2.1.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{20}$

ステップ 3.2.1.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.5.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{20}$

ステップ 3.2.1.5.4.2

式を書き換えます。

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{1}}{20}$

ステップ 3.2.1.5.5

指数を求めます。

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 1 \cdot 5}{20}$

ステップ 3.2.1.6

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5}{20}$

ステップ 3.2.2

$5$ から $5$ を引きます。

$\frac{0 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5}}{20}$

ステップ 3.2.3

$0$ から $\sqrt{5}$ を引きます。

$\frac{- \sqrt{5} + 5 \sqrt{5}}{20}$

ステップ 3.2.4

$- \sqrt{5}$ と $5 \sqrt{5}$ をたし算します。

$\frac{4 \sqrt{5}}{20}$

ステップ 4

$4$ と $20$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1

$4$ を $4 \sqrt{5}$ で因数分解します。

$\frac{4 (\sqrt{5})}{20}$

ステップ 4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1

$4$ を $20$ で因数分解します。

$\frac{4 \sqrt{5}}{4 \cdot 5}$

ステップ 4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 \sqrt{5}}{4 \cdot 5}$

ステップ 4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

10進法形式：

$0.44721359 \dots$

代数 例

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