代数例

$3 \log_{3} (X) = - \log_{3} (27)$

ステップ 1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

対数の中の $3$ を移動させて $3 \log_{3} (X)$ を簡約します。

$\log_{3} (X^{3}) = - \log_{3} (27)$

ステップ 1.2

対数の中の $- 1$ を移動させて $- \log_{3} (27)$ を簡約します。

$\log_{3} (X^{3}) = \log_{3} (27^{- 1})$

ステップ 2

方程式を等しくするために、両辺の対数の引数が等しくなる必要があります。

$X^{3} = 27^{- 1}$

ステップ 3

$X$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式の両辺から $27^{- 1}$ を引きます。

$X^{3} - 27^{- 1} = 0$

ステップ 3.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$X^{3} - \frac{1}{27} = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$\frac{1}{27}$ を ${(\frac{1}{3})}^{3}$ に書き換えます。

$X^{3} - {(\frac{1}{3})}^{3} = 0$

ステップ 3.3.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = X$ であり、 $b = \frac{1}{3}$ です。

$(X - \frac{1}{3}) (X^{2} + X (\frac{1}{3}) + {(\frac{1}{3})}^{2}) = 0$

ステップ 3.3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$X$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$(X - \frac{1}{3}) (X^{2} + \frac{X}{3} + {(\frac{1}{3})}^{2}) = 0$

ステップ 3.3.3.2

積の法則を $\frac{1}{3}$ に当てはめます。

$(X - \frac{1}{3}) (X^{2} + \frac{X}{3} + \frac{1^{2}}{3^{2}}) = 0$

ステップ 3.3.3.3

1のすべての数の累乗は1です。

$(X - \frac{1}{3}) (X^{2} + \frac{X}{3} + \frac{1}{3^{2}}) = 0$

ステップ 3.3.3.4

$3$ を $2$ 乗します。

$(X - \frac{1}{3}) (X^{2} + \frac{X}{3} + \frac{1}{9}) = 0$

ステップ 3.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$X - \frac{1}{3} = 0$

$X^{2} + \frac{X}{3} + \frac{1}{9} = 0$

ステップ 3.5

$X - \frac{1}{3}$ を $0$ に等しくし、 $X$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$X - \frac{1}{3}$ が $0$ に等しいとします。

$X - \frac{1}{3} = 0$

ステップ 3.5.2

方程式の両辺に $\frac{1}{3}$ を足します。

$X = \frac{1}{3}$

ステップ 3.6

$X^{2} + \frac{X}{3} + \frac{1}{9}$ を $0$ に等しくし、 $X$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$X^{2} + \frac{X}{3} + \frac{1}{9}$ が $0$ に等しいとします。

$X^{2} + \frac{X}{3} + \frac{1}{9} = 0$

ステップ 3.6.2

$X$ について $X^{2} + \frac{X}{3} + \frac{1}{9} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1

両辺に最小公分母 $9$ を掛け、次に簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1.1

分配則を当てはめます。

$9 X^{2} + 9 (\frac{X}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

ステップ 3.6.2.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1.2.1.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$9 X^{2} + 3 (3) (\frac{X}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

ステップ 3.6.2.1.2.1.2

共通因数を約分します。

$9 X^{2} + 3 \cdot (3 (\frac{X}{3})) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

ステップ 3.6.2.1.2.1.3

式を書き換えます。

$9 X^{2} + 3 X + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

ステップ 3.6.2.1.2.2

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$9 X^{2} + 3 X + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

ステップ 3.6.2.1.2.2.2

式を書き換えます。

$9 X^{2} + 3 X + 1 = 0$

ステップ 3.6.2.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.6.2.3

$a = 9$ 、 $b = 3$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $X$ の値を求めます。

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 1)}}{2 \cdot 9}$

ステップ 3.6.2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.4.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

ステップ 3.6.2.4.1.2

$- 4 \cdot 9 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.4.1.2.1

$- 4$ に $9$ をかけます。

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

ステップ 3.6.2.4.1.2.2

$- 36$ に $1$ をかけます。

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 9}$

ステップ 3.6.2.4.1.3

$9$ から $36$ を引きます。

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 9}$

ステップ 3.6.2.4.1.4

$- 27$ を $- 1 (27)$ に書き換えます。

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 9}$

ステップ 3.6.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (27)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ に書き換えます。

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

ステップ 3.6.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$X = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

ステップ 3.6.2.4.1.7

$27$ を $3^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.4.1.7.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$X = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 9}$

ステップ 3.6.2.4.1.7.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$X = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

ステップ 3.6.2.4.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$X = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

ステップ 3.6.2.4.1.9

$3$ を $i$ の左に移動させます。

$X = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

ステップ 3.6.2.4.2

$2$ に $9$ をかけます。

$X = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$

ステップ 3.6.2.4.3

$\frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$ を簡約します。

$X = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{6}$

ステップ 3.6.2.5

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$X = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}$

ステップ 3.7

最終解は $(X - \frac{1}{3}) (X^{2} + \frac{X}{3} + \frac{1}{9}) = 0$ を真にするすべての値です。

$X = \frac{1}{3}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}$

代数 例

代数例