代数例

$f (x) = \arcsin (\sin (x))$

ステップ 1

$\arcsin (\sin (x))$ の偏角を $- 1$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$\sin (x) \geq - 1$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x \geq \arcsin (- 1)$

ステップ 2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$\arcsin (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{2}$ です。

$x \geq - \frac{π}{2}$

ステップ 2.3

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

ステップ 2.4

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 2.4.1

$2 π + \frac{π}{2} + π$ から $2 π$ を引きます。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

ステップ 2.4.2

$\frac{3 π}{2}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{2} + π$ と隣接します。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 2.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 2.6

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 2.6.1

$2 π$ を $- \frac{π}{2}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{2} + 2 π$

ステップ 2.6.2

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 2.6.3

分数をまとめます。

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ステップ 2.6.3.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 2.6.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 2.6.4

分子を簡約します。

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ステップ 2.6.4.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 π - π}{2}$

ステップ 2.6.4.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{3 π}{2}$

ステップ 2.6.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 2.7

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.8

答えをまとめます。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.9

各根を利用して検定区間を作成します。

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$

ステップ 2.10

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 2.10.1

区間 $\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.1.1

区間 $\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 8$

ステップ 2.10.1.2

$x$ を元の不等式の $8$ で置き換えます。

$\sin (8) \geq - 1$

ステップ 2.10.1.3

左辺 $0.98935824$ は右辺 $- 1$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 2.10.2

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ 真

ステップ 2.11

解はすべての真の区間からなります。

$\frac{3 π}{2} + 2 π n \leq x \leq \frac{7 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

$\arcsin (\sin (x))$ の偏角を $1$ 以下として、式が定義である場所を求めます。

$\sin (x) \leq 1$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x \leq \arcsin (1)$

ステップ 4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$\arcsin (1)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x \leq \frac{π}{2}$

ステップ 4.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - \frac{π}{2}$

ステップ 4.4

$π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 4.4.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 4.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 4.4.2.1

$π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 4.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 4.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 4.4.3.1

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

ステップ 4.4.3.2

$2 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 4.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 4.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 4.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 4.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 4.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 4.6

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4.7

各根を利用して検定区間を作成します。

$\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$

ステップ 4.8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 4.8.1

区間 $\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1.1

区間 $\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 5$

ステップ 4.8.1.2

$x$ を元の不等式の $5$ で置き換えます。

$\sin (5) \leq 1$

ステップ 4.8.1.3

左辺 $- 0.95892427$ は右辺 $1$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 4.8.2

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ 真

ステップ 4.9

解はすべての真の区間からなります。

$\frac{π}{2} + 2 π n \leq x \leq \frac{5 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

集合の内包的記法：

${x | x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, x = \frac{7 π}{2} + 2 π n, x = \frac{π}{2} + 2 π n, x = \frac{5 π}{2} + 2 π n}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

集合の内包的記法：

${y | - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}}$

ステップ 7

定義域と値域を判定します。

定義域： $n$ 、任意の整数 ${x | x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, x = \frac{7 π}{2} + 2 π n, x = \frac{π}{2} + 2 π n, x = \frac{5 π}{2} + 2 π n}$ について

値域： $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}], {y | - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}}$

ステップ 8

代数 例

代数例