代数例

$x^{6} - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 8 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x^{6} - 2 x^{4}) - 4 x^{2} + 8 = 0$

ステップ 1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x^{4} (x^{2} - 2) - 4 (x^{2} - 2) = 0$

ステップ 1.2

最大公約数 $x^{2} - 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x^{2} - 2) (x^{4} - 4) = 0$

ステップ 1.3

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$(x^{2} - 2) ({(x^{2})}^{2} - 4) = 0$

ステップ 1.4

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$(x^{2} - 2) ({(x^{2})}^{2} - 2^{2}) = 0$

ステップ 1.5

因数分解。

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ステップ 1.5.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x^{2}$ であり、 $b = 2$ です。

$(x^{2} - 2) ((x^{2} + 2) (x^{2} - 2)) = 0$

ステップ 1.5.2

不要な括弧を削除します。

$(x^{2} - 2) (x^{2} + 2) (x^{2} - 2) = 0$

ステップ 1.6

指数をまとめます。

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ステップ 1.6.1

$x^{2} - 2$ を $1$ 乗します。

$(x^{2} - 2) (x^{2} - 2) (x^{2} + 2) = 0$

ステップ 1.6.2

$x^{2} - 2$ を $1$ 乗します。

$(x^{2} - 2) (x^{2} - 2) (x^{2} + 2) = 0$

ステップ 1.6.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${(x^{2} - 2)}^{1 + 1} (x^{2} + 2) = 0$

ステップ 1.6.4

$1$ と $1$ をたし算します。

${(x^{2} - 2)}^{2} (x^{2} + 2) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

${(x^{2} - 2)}^{2} = 0$

$x^{2} + 2 = 0$

ステップ 3

${(x^{2} - 2)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

${(x^{2} - 2)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x^{2} - 2)}^{2} = 0$

ステップ 3.2

$x$ について ${(x^{2} - 2)}^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

$x^{2} - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 2 = 0$

ステップ 3.2.2

$x$ について解きます。

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ステップ 3.2.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x^{2} = 2$

ステップ 3.2.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{2}$

ステップ 3.2.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.2.2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{2}$

ステップ 3.2.2.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{2}$

ステップ 3.2.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 4

$x^{2} + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$x^{2} + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 2 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $x^{2} + 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x^{2} = - 2$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- 2}$

ステップ 4.2.3

$\pm \sqrt{- 2}$ を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

ステップ 4.2.3.2

$\sqrt{- 1 (2)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

ステップ 4.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \sqrt{2}$

ステップ 4.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 4.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = i \sqrt{2}$

ステップ 4.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - i \sqrt{2}$

ステップ 4.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

ステップ 5

最終解は ${(x^{2} - 2)}^{2} (x^{2} + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

ステップ 6

代数 例

代数例