代数例

$f (x) = \sqrt[3]{5^{x}} + 9$

ステップ 1

$f (x) = \sqrt[3]{5^{x}} + 9$ を方程式で書きます。

$y = \sqrt[3]{5^{x}} + 9$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \sqrt[3]{5^{y}} + 9$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $\sqrt[3]{5^{y}} + 9 = x$ として書き換えます。

$\sqrt[3]{5^{y}} + 9 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$\sqrt[3]{5^{y}} = x - 9$

ステップ 3.3

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${\sqrt[3]{5^{y}}}^{3} = {(x - 9)}^{3}$

ステップ 3.4

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{5^{y}}$ を $5^{\frac{y}{3}}$ に書き換えます。

${(5^{\frac{y}{3}})}^{3} = {(x - 9)}^{3}$

ステップ 3.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

${(5^{\frac{y}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.4.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$5^{\frac{y}{3} \cdot 3} = {(x - 9)}^{3}$

ステップ 3.4.2.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$5^{\frac{y}{3} \cdot 3} = {(x - 9)}^{3}$

ステップ 3.4.2.1.2.2

式を書き換えます。

$5^{y} = {(x - 9)}^{3}$

ステップ 3.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.3.1

${(x - 9)}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1.1

二項定理を利用します。

$5^{y} = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 9 + 3 x {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3}$

ステップ 3.4.3.1.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.4.3.1.2.1

$- 9$ に $3$ をかけます。

$5^{y} = x^{3} - 27 x^{2} + 3 x {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3}$

ステップ 3.4.3.1.2.2

$- 9$ を $2$ 乗します。

$5^{y} = x^{3} - 27 x^{2} + 3 x \cdot 81 + {(- 9)}^{3}$

ステップ 3.4.3.1.2.3

$81$ に $3$ をかけます。

$5^{y} = x^{3} - 27 x^{2} + 243 x + {(- 9)}^{3}$

ステップ 3.4.3.1.2.4

$- 9$ を $3$ 乗します。

$5^{y} = x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729$

ステップ 3.5

$y$ について解きます。

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ステップ 3.5.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (5^{y}) = \ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)$

ステップ 3.5.2

$y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (5^{y})$ を展開します。

$y \ln (5) = \ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)$

ステップ 3.5.3

$y \ln (5) = \ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)$ の各項を $\ln (5)$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.3.1

$y \ln (5) = \ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)$ の各項を $\ln (5)$ で割ります。

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$

ステップ 3.5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.3.2.1

$\ln (5)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$

ステップ 3.5.3.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$ が $f (x) = \sqrt[3]{5^{x}} + 9$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\sqrt[3]{5^{x}} + 9)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{5^{x}} + 9) = \frac{\ln ({(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{3} - 27 {(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{2} + 243 (\sqrt[3]{5^{x}} + 9) - 729)}{\ln (5)}$

ステップ 5.2.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1.1

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{5^{x}} + 9) = \frac{\ln ({(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{3} - 27 {(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{2} + 243 \sqrt[3]{5^{x}} + 243 \cdot 9 - 729)}{\ln (5)}$

ステップ 5.2.3.1.2

$243$ に $9$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{5^{x}} + 9) = \frac{\ln ({(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{3} - 27 {(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{2} + 243 \sqrt[3]{5^{x}} + 2187 - 729)}{\ln (5)}$

ステップ 5.2.3.2

$2187$ から $729$ を引きます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{5^{x}} + 9) = \frac{\ln ({(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{3} - 27 {(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{2} + 243 \sqrt[3]{5^{x}} + 1458)}{\ln (5)}$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)})$ の値を求めます。

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = \sqrt[3]{5^{\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}}} + 9$

ステップ 5.3.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

底の変換公式 $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ を利用します。

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = \sqrt[3]{5^{\log_{5} (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}} + 9$

ステップ 5.3.3.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = \sqrt[3]{x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729} + 9$

ステップ 5.3.3.3

各項を2項式の定理の公式の項と一致させます。

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = \sqrt[3]{x^{3} - 3 \cdot (9 x^{2}) + 3 \cdot (9^{2} x) - 1 \cdot 9^{3}} + 9$

ステップ 5.3.3.4

2項式の定理を利用して $x^{3} - 3 \cdot 9 x^{2} + 3 \cdot 9^{2} x - 1 \cdot 9^{3}$ を因数分解します。

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = \sqrt[3]{{(x - 9)}^{3}} + 9$

ステップ 5.3.3.5

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = x - 9 + 9$

ステップ 5.3.4

$x - 9 + 9$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.4.1

$- 9$ と $9$ をたし算します。

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = x + 0$

ステップ 5.3.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$ は $f (x) = \sqrt[3]{5^{x}} + 9$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$

代数 例

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