代数例

$9 x^{4} - 2 x^{2} - 7 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$9 {(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 7 = 0$

ステップ 1.2

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$9 u^{2} - 2 u - 7 = 0$

ステップ 1.3

群による因数分解。

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ステップ 1.3.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 9 \cdot - 7 = - 63$ で和が $b = - 2$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 1.3.1.1

$- 2$ を $- 2 u$ で因数分解します。

$9 u^{2} - 2 u - 7 = 0$

ステップ 1.3.1.2

$- 2$ を $7$ プラス $- 9$ に書き換える

$9 u^{2} + (7 - 9) u - 7 = 0$

ステップ 1.3.1.3

分配則を当てはめます。

$9 u^{2} + 7 u - 9 u - 7 = 0$

ステップ 1.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.3.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(9 u^{2} + 7 u) - 9 u - 7 = 0$

ステップ 1.3.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$u (9 u + 7) - (9 u + 7) = 0$

ステップ 1.3.3

最大公約数 $9 u + 7$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(9 u + 7) (u - 1) = 0$

ステップ 1.4

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$(9 x^{2} + 7) (x^{2} - 1) = 0$

ステップ 1.5

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$(9 x^{2} + 7) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

ステップ 1.6

因数分解。

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ステップ 1.6.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$(9 x^{2} + 7) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

ステップ 1.6.2

不要な括弧を削除します。

$(9 x^{2} + 7) (x + 1) (x - 1) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$9 x^{2} + 7 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 3

$9 x^{2} + 7$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$9 x^{2} + 7$ が $0$ に等しいとします。

$9 x^{2} + 7 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $9 x^{2} + 7 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺から $7$ を引きます。

$9 x^{2} = - 7$

ステップ 3.2.2

$9 x^{2} = - 7$ の各項を $9$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$9 x^{2} = - 7$ の各項を $9$ で割ります。

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{- 7}{9}$

ステップ 3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.2.1

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{- 7}{9}$

ステップ 3.2.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 7}{9}$

ステップ 3.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x^{2} = - \frac{7}{9}$

ステップ 3.2.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- \frac{7}{9}}$

ステップ 3.2.4

$\pm \sqrt{- \frac{7}{9}}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

$- \frac{7}{9}$ を ${(\frac{i}{3})}^{2} \cdot 7$ に書き換えます。

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ステップ 3.2.4.1.1

$- 1$ を $i^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{7}{9}}$

ステップ 3.2.4.1.2

$7$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 7}{9}}$

ステップ 3.2.4.1.3

$9$ から完全累乗 $3^{2}$ を因数分解します。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 7}{3^{2} \cdot 1}}$

ステップ 3.2.4.1.4

分数 $\frac{1^{2} \cdot 7}{3^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$x = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{3})}^{2} \cdot 7)}$

ステップ 3.2.4.1.5

$i^{2} {(\frac{1}{3})}^{2}$ を ${(\frac{i}{3})}^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{3})}^{2} \cdot 7}$

ステップ 3.2.4.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm \frac{i}{3} \sqrt{7}$

ステップ 3.2.4.3

$\frac{i}{3}$ と $\sqrt{7}$ をまとめます。

$x = \pm \frac{i \sqrt{7}}{3}$

ステップ 3.2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{i \sqrt{7}}{3}$

ステップ 3.2.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{i \sqrt{7}}{3}$

ステップ 3.2.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{i \sqrt{7}}{3}, - \frac{i \sqrt{7}}{3}$

ステップ 4

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 4.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 5

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 6

最終解は $(9 x^{2} + 7) (x + 1) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{i \sqrt{7}}{3}, - \frac{i \sqrt{7}}{3}, - 1, 1$

代数 例

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