代数例

$\cos^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) - 1 = 0$

ステップ 1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$\cos^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = 1$

ステップ 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = \pm \sqrt{1}$

ステップ 3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = \pm 1$

ステップ 4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = 1$

ステップ 4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = - 1$

ステップ 4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = 1, - 1$

ステップ 5

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = 1$

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = - 1$

ステップ 6

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = 1$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = \arccos (1)$

ステップ 6.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$\arccos (1)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = 0$

ステップ 6.3

方程式の両辺から $\frac{π}{3}$ を引きます。

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{3}$

ステップ 6.4

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{3})$

ステップ 6.5

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{3})$

ステップ 6.5.1.1.2

式を書き換えます。

$x = 2 (- \frac{π}{3})$

ステップ 6.5.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.1

$2 (- \frac{π}{3})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.1.1

$2 (- \frac{π}{3})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.1.1.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$x = - 2 \frac{π}{3}$

ステップ 6.5.2.1.1.2

$- 2$ と $\frac{π}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{- 2 π}{3}$

ステップ 6.5.2.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{2 π}{3}$

ステップ 6.6

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = 2 π - 0$

ステップ 6.7

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.1

$2 π$ から $0$ を引きます。

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = 2 π$

ステップ 6.7.2

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.2.1

方程式の両辺から $\frac{π}{3}$ を引きます。

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{3}$

ステップ 6.7.2.2

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{x}{2} = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 6.7.2.3

$2 π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{x}{2} = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 6.7.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x}{2} = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

ステップ 6.7.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.2.5.1

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{x}{2} = \frac{6 π - π}{3}$

ステップ 6.7.2.5.2

$6 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{3}$

ステップ 6.7.3

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{3}$

ステップ 6.7.4

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.4.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.4.1.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{3}$

ステップ 6.7.4.1.1.2

式を書き換えます。

$x = 2 \frac{5 π}{3}$

ステップ 6.7.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.4.2.1

$2 \frac{5 π}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.4.2.1.1

$2$ と $\frac{5 π}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{2 (5 π)}{3}$

ステップ 6.7.4.2.1.2

$5$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{10 π}{3}$

ステップ 6.8

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 6.8.2

周期の公式の $b$ を $\frac{1}{2}$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

ステップ 6.8.3

$\frac{1}{2}$ は約 $0.5$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.8.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 π \cdot 2$

ステップ 6.8.5

$2$ に $2$ をかけます。

$4 π$

ステップ 6.9

$4 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.9.1

$4 π$ を $- \frac{2 π}{3}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{2 π}{3} + 4 π$

ステップ 6.9.2

$4 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$4 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

ステップ 6.9.3

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.9.3.1

$4 π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{4 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

ステップ 6.9.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

ステップ 6.9.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.9.4.1

$3$ に $4$ をかけます。

$\frac{12 π - 2 π}{3}$

ステップ 6.9.4.2

$12 π$ から $2 π$ を引きます。

$\frac{10 π}{3}$

ステップ 6.9.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{10 π}{3}$

ステップ 6.10

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ 関数の周期が $4 π$ なので、両方向で $4 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{10 π}{3} + 4 π n, \frac{10 π}{3} + 4 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = - 1$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = \arccos (- 1)$

ステップ 7.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$\arccos (- 1)$ の厳密値は $π$ です。

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = π$

ステップ 7.3

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

方程式の両辺から $\frac{π}{3}$ を引きます。

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{3}$

ステップ 7.3.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{x}{2} = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 7.3.3

$π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 7.3.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

ステップ 7.3.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.5.1

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{x}{2} = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

ステップ 7.3.5.2

$3 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{x}{2} = \frac{2 π}{3}$

ステップ 7.4

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{2 π}{3}$

ステップ 7.5

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{2 π}{3}$

ステップ 7.5.1.1.2

式を書き換えます。

$x = 2 \frac{2 π}{3}$

ステップ 7.5.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.2.1

$2 \frac{2 π}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.2.1.1

$2$ と $\frac{2 π}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{2 (2 π)}{3}$

ステップ 7.5.2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{4 π}{3}$

ステップ 7.6

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = 2 π - π$

ステップ 7.7

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.1

$2 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = π$

ステップ 7.7.2

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.2.1

方程式の両辺から $\frac{π}{3}$ を引きます。

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{3}$

ステップ 7.7.2.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{x}{2} = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 7.7.2.3

$π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 7.7.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

ステップ 7.7.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.2.5.1

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{x}{2} = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

ステップ 7.7.2.5.2

$3 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{x}{2} = \frac{2 π}{3}$

ステップ 7.7.3

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{2 π}{3}$

ステップ 7.7.4

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.4.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.4.1.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{2 π}{3}$

ステップ 7.7.4.1.1.2

式を書き換えます。

$x = 2 \frac{2 π}{3}$

ステップ 7.7.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.4.2.1

$2 \frac{2 π}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.4.2.1.1

$2$ と $\frac{2 π}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{2 (2 π)}{3}$

ステップ 7.7.4.2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{4 π}{3}$

ステップ 7.8

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 7.8.2

周期の公式の $b$ を $\frac{1}{2}$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

ステップ 7.8.3

$\frac{1}{2}$ は約 $0.5$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

ステップ 7.8.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 π \cdot 2$

ステップ 7.8.5

$2$ に $2$ をかけます。

$4 π$

ステップ 7.9

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ 関数の周期が $4 π$ なので、両方向で $4 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{4 π}{3} + 4 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

すべての解をまとめます。

$x = \frac{10 π}{3} + 4 π n, \frac{10 π}{3} + 4 π n, \frac{4 π}{3} + 4 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9

答えをまとめます。

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

代数 例

代数例