代数例

$\cos^{2} (x) = \sin (x)$

ステップ 1

方程式の両辺から $\sin (x)$ を引きます。

$\cos^{2} (x) - \sin (x) = 0$

ステップ 2

$\cos^{2} (x)$ を $1 - \sin^{2} (x)$ で置き換えます。

$(1 - \sin^{2} (x)) - \sin (x) = 0$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

$u$ を $\sin (x)$ に代入します。

$1 - {(u)}^{2} - (u) = 0$

ステップ 3.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.3

$a = - 1$ 、 $b = - 1$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $u$ の値を求めます。

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 1)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.4

簡約します。

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ステップ 3.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.4.1.2

$- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 3.4.1.2.1

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.4.1.2.2

$4$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.4.1.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.4.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$

ステップ 3.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$u = - \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

ステップ 3.5

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$u = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

ステップ 3.6

$\sin (x)$ を $u$ に代入します。

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

ステップ 3.7

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

ステップ 3.8

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 3.8.1

正弦の値域は $- 1 \leq y \leq 1$ です。 $- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 3.9

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 3.9.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})$

ステップ 3.9.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.9.2.1

$\arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})$ の値を求めます。

$x = 0.66623943$

ステップ 3.9.3

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$x = 2 (3.14159265) - 0.66623943 + 3.14159265$

ステップ 3.9.4

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 3.9.4.1

$2 (3.14159265) - 0.66623943 + 3.14159265$ から $2 π$ を引きます。

$x = 2 (3.14159265) - 0.66623943 + 3.14159265 - 2 π$

ステップ 3.9.4.2

$2.47535322$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 (3.14159265) - 0.66623943 + 3.14159265$ と隣接します。

$x = 2.47535322$

ステップ 3.9.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 3.9.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.9.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 3.9.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 3.9.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 3.9.6

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 0.66623943 + 2 π n, 2.47535322 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3.10

すべての解をまとめます。

$x = 0.66623943 + 2 π n, 2.47535322 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

代数 例

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