代数例

$f (x) = 2 \cdot 3^{2 x} + 4$

ステップ 1

$f (x) = 2 \cdot 3^{2 x} + 4$ を方程式で書きます。

$y = 2 \cdot 3^{2 x} + 4$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 2 \cdot 3^{2 y} + 4$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $2 \cdot 3^{2 y} + 4 = x$ として書き換えます。

$2 \cdot 3^{2 y} + 4 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$2 \cdot 3^{2 y} = x - 4$

ステップ 3.3

$2 \cdot 3^{2 y} = x - 4$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$2 \cdot 3^{2 y} = x - 4$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \cdot 3^{2 y}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 4}{2}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 3^{2 y}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 4}{2}$

ステップ 3.3.2.1.2

$3^{2 y}$ を $1$ で割ります。

$3^{2 y} = \frac{x}{2} + \frac{- 4}{2}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$- 4$ を $2$ で割ります。

$3^{2 y} = \frac{x}{2} - 2$

ステップ 3.4

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (3^{2 y}) = \ln (\frac{x}{2} - 2)$

ステップ 3.5

$2 y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (3^{2 y})$ を展開します。

$2 y \ln (3) = \ln (\frac{x}{2} - 2)$

ステップ 3.6

$2 y \ln (3) = \ln (\frac{x}{2} - 2)$ の各項を $2 \ln (3)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$2 y \ln (3) = \ln (\frac{x}{2} - 2)$ の各項を $2 \ln (3)$ で割ります。

$\frac{2 y \ln (3)}{2 \ln (3)} = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

ステップ 3.6.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y \ln (3)}{2 \ln (3)} = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

ステップ 3.6.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

ステップ 3.6.2.2

$\ln (3)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

ステップ 3.6.2.2.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$ が $f (x) = 2 \cdot 3^{2 x} + 4$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{2 \cdot 3^{2 x} + 4}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

ステップ 5.2.3

$2 \cdot 3^{2 x} + 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$2$ を $2 \cdot 3^{2 x}$ で因数分解します。

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{2 (3^{2 x}) + 4}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

ステップ 5.2.3.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{2 (3^{2 x}) + 2 \cdot 2}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

ステップ 5.2.3.3

$2$ を $2 (3^{2 x}) + 2 (2)$ で因数分解します。

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{2 (3^{2 x} + 2)}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

ステップ 5.2.3.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{2 (3^{2 x} + 2)}{2 (1)} - 2)}{2 \ln (3)}$

ステップ 5.2.3.4.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{2 (3^{2 x} + 2)}{2 \cdot 1} - 2)}{2 \ln (3)}$

ステップ 5.2.3.4.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{3^{2 x} + 2}{1} - 2)}{2 \ln (3)}$

ステップ 5.2.3.4.4

$3^{2 x} + 2$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (3^{2 x} + 2 - 2)}{2 \ln (3)}$

ステップ 5.2.4

$3^{2 x} + 2 - 2$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$2$ から $2$ を引きます。

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (3^{2 x} + 0)}{2 \ln (3)}$

ステップ 5.2.4.2

$3^{2 x}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (3^{2 x})}{2 \ln (3)}$

ステップ 5.2.5

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (3)$ を簡約します。

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (3^{2 x})}{\ln (3^{2})}$

ステップ 5.2.6

$3$ を $2$ 乗します。

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (3^{2 x})}{\ln (9)}$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)})$ の値を求めます。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)})} + 4$

ステップ 5.3.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.1

$- 2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2})}{2 \ln (3)})} + 4$

ステップ 5.3.3.1.2

$- 2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2})}{2 \ln (3)})} + 4$

ステップ 5.3.3.1.3

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 2 \cdot 2}{2})}{2 \ln (3)})} + 4$

ステップ 5.3.3.1.4

$- 2$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 4}{2})}{2 \ln (3)})} + 4$

ステップ 5.3.3.2

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (3)$ を簡約します。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 4}{2})}{\ln (3^{2})})} + 4$

ステップ 5.3.3.3

$3$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 4}{2})}{\ln (9)})} + 4$

ステップ 5.3.3.4

$2 \frac{\ln (\frac{x - 4}{2})}{\ln (9)}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.4.1

$2$ と $\frac{\ln (\frac{x - 4}{2})}{\ln (9)}$ をまとめます。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{\frac{2 \ln (\frac{x - 4}{2})}{\ln (9)}} + 4$

ステップ 5.3.3.4.2

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (\frac{x - 4}{2})$ を簡約します。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{\frac{\ln ({(\frac{x - 4}{2})}^{2})}{\ln (9)}} + 4$

ステップ 5.3.3.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.5.1

積の法則を $\frac{x - 4}{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{\frac{\ln (\frac{{(x - 4)}^{2}}{2^{2}})}{\ln (9)}} + 4$

ステップ 5.3.3.5.2

$2$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{\frac{\ln (\frac{{(x - 4)}^{2}}{4})}{\ln (9)}} + 4$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$ は $f (x) = 2 \cdot 3^{2 x} + 4$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

代数 例

代数例