代数例

$f (x) = x^{4} - x^{3} - 21 x^{2} + x + 20$

ステップ 1

x切片を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

x切片を求めるために、 $0$ を $y$ に代入し $x$ を解きます。

$0 = x^{4} - x^{3} - 21 x^{2} + x + 20$

ステップ 1.2

方程式を解きます。

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ステップ 1.2.1

方程式を $x^{4} - x^{3} - 21 x^{2} + x + 20 = 0$ として書き換えます。

$x^{4} - x^{3} - 21 x^{2} + x + 20 = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

$x^{3}$ を $x^{4} - x^{3}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1.1

$x^{3}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$x^{3} x - x^{3} - 21 x^{2} + x + 20 = 0$

ステップ 1.2.2.1.2

$x^{3}$ を $- x^{3}$ で因数分解します。

$x^{3} x + x^{3} \cdot - 1 - 21 x^{2} + x + 20 = 0$

ステップ 1.2.2.1.3

$x^{3}$ を $x^{3} x + x^{3} \cdot - 1$ で因数分解します。

$x^{3} (x - 1) - 21 x^{2} + x + 20 = 0$

ステップ 1.2.2.2

群による因数分解。

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ステップ 1.2.2.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 21 \cdot 20 = - 420$ で和が $b = 1$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 1.2.2.2.1.1

$1$ を掛けます。

$x^{3} (x - 1) - 21 x^{2} + 1 x + 20 = 0$

ステップ 1.2.2.2.1.2

$1$ を $- 20$ プラス $21$ に書き換える

$x^{3} (x - 1) - 21 x^{2} + (- 20 + 21) x + 20 = 0$

ステップ 1.2.2.2.1.3

分配則を当てはめます。

$x^{3} (x - 1) - 21 x^{2} - 20 x + 21 x + 20 = 0$

ステップ 1.2.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.2.2.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$x^{3} (x - 1) - 21 x^{2} - 20 x + 21 x + 20 = 0$

ステップ 1.2.2.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x^{3} (x - 1) + x (- 21 x - 20) - (- 21 x - 20) = 0$

ステップ 1.2.2.2.3

最大公約数 $- 21 x - 20$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$x^{3} (x - 1) + (- 21 x - 20) (x - 1) = 0$

ステップ 1.2.2.3

$x - 1$ を $x^{3} (x - 1) + (- 21 x - 20) (x - 1)$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.2.3.1

$x - 1$ を $x^{3} (x - 1)$ で因数分解します。

$(x - 1) x^{3} + (- 21 x - 20) (x - 1) = 0$

ステップ 1.2.2.3.2

$x - 1$ を $(- 21 x - 20) (x - 1)$ で因数分解します。

$(x - 1) x^{3} + (x - 1) (- 21 x - 20) = 0$

ステップ 1.2.2.3.3

$x - 1$ を $(x - 1) x^{3} + (x - 1) (- 21 x - 20)$ で因数分解します。

$(x - 1) (x^{3} - 21 x - 20) = 0$

ステップ 1.2.2.4

因数分解。

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ステップ 1.2.2.4.1

因数分解した形で $x^{3} - 21 x - 20$ を書き換えます。

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ステップ 1.2.2.4.1.1

有理根検定を用いて $x^{3} - 21 x - 20$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.2.4.1.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1$

ステップ 1.2.2.4.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

ステップ 1.2.2.4.1.1.3

$- 1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 1$ は多項式の根です。

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ステップ 1.2.2.4.1.1.3.1

$- 1$ を多項式に代入します。

${(- 1)}^{3} - 21 \cdot - 1 - 20$

ステップ 1.2.2.4.1.1.3.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$- 1 - 21 \cdot - 1 - 20$

ステップ 1.2.2.4.1.1.3.3

$- 21$ に $- 1$ をかけます。

$- 1 + 21 - 20$

ステップ 1.2.2.4.1.1.3.4

$- 1$ と $21$ をたし算します。

$20 - 20$

ステップ 1.2.2.4.1.1.3.5

$20$ から $20$ を引きます。

$0$

ステップ 1.2.2.4.1.1.4

$- 1$ は既知の根なので、多項式を $x + 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} - 21 x - 20}{x + 1}$

ステップ 1.2.2.4.1.1.5

$x^{3} - 21 x - 20$ を $x + 1$ で割ります。

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ステップ 1.2.2.4.1.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$20$

ステップ 1.2.2.4.1.1.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$

ステップ 1.2.2.4.1.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

ステップ 1.2.2.4.1.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} + x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

ステップ 1.2.2.4.1.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

ステップ 1.2.2.4.1.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$

ステップ 1.2.2.4.1.1.5.7

被除数 $- x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$

ステップ 1.2.2.4.1.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

ステップ 1.2.2.4.1.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- x^{2} - x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

ステップ 1.2.2.4.1.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$20 x$

ステップ 1.2.2.4.1.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$20 x$	-	$20$

ステップ 1.2.2.4.1.1.5.12

被除数 $- 20 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$20 x$	-	$20$

ステップ 1.2.2.4.1.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$20 x$	-	$20$
							-	$20 x$	-	$20$

ステップ 1.2.2.4.1.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 20 x - 20$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$20 x$	-	$20$
							+	$20 x$	+	$20$

ステップ 1.2.2.4.1.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$20 x$	-	$20$
							+	$20 x$	+	$20$
										$0$

ステップ 1.2.2.4.1.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - x - 20$

ステップ 1.2.2.4.1.1.6

$x^{3} - 21 x - 20$ を因数の集合として書き換えます。

$(x - 1) ((x + 1) (x^{2} - x - 20)) = 0$

ステップ 1.2.2.4.1.2

たすき掛けを利用して $x^{2} - x - 20$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.4.1.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - x - 20$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.4.1.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 20$ で、その和が $- 1$ です。

$- 5, 4$

ステップ 1.2.2.4.1.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 1) ((x + 1) ((x - 5) (x + 4))) = 0$

ステップ 1.2.2.4.1.2.2

不要な括弧を削除します。

$(x - 1) ((x + 1) (x - 5) (x + 4)) = 0$

ステップ 1.2.2.4.2

不要な括弧を削除します。

$(x - 1) (x + 1) (x - 5) (x + 4) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

ステップ 1.2.4

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 1.2.4.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 1.2.5

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 1.2.5.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 1.2.6

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 1.2.6.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 1.2.7

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 1.2.7.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 1.2.8

最終解は $(x - 1) (x + 1) (x - 5) (x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1, - 1, 5, - 4$

ステップ 1.3

点形式のx切片です。

x切片： $(1, 0), (- 1, 0), (5, 0), (- 4, 0)$

ステップ 2

y切片を求めます。

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ステップ 2.1

y切片を求めるために、 $0$ を $x$ に代入し $y$ を解きます。

$y = {(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

ステップ 2.2

方程式を解きます。

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ステップ 2.2.1

括弧を削除します。

$y = {(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

ステップ 2.2.2

括弧を削除します。

$y = 0^{4} - {(0)}^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

ステップ 2.2.3

括弧を削除します。

$y = 0^{4} - 0^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

ステップ 2.2.4

括弧を削除します。

$y = 0^{4} - 0^{3} - 21 \cdot 0^{2} + 0 + 20$

ステップ 2.2.5

括弧を削除します。

$y = {(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

ステップ 2.2.6

${(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$y = 0 - {(0)}^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

ステップ 2.2.6.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$y = 0 - 0 - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

ステップ 2.2.6.1.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$y = 0 + 0 - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

ステップ 2.2.6.1.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$y = 0 + 0 - 21 \cdot 0 + 0 + 20$

ステップ 2.2.6.1.5

$- 21$ に $0$ をかけます。

$y = 0 + 0 + 0 + 0 + 20$

ステップ 2.2.6.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$y = 0 + 0 + 0 + 20$

ステップ 2.2.6.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$y = 0 + 0 + 20$

ステップ 2.2.6.2.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$y = 0 + 20$

ステップ 2.2.6.2.4

$0$ と $20$ をたし算します。

$y = 20$

ステップ 2.3

点形式のy切片です。

y切片： $(0, 20)$

ステップ 3

交点を一覧にします。

x切片： $(1, 0), (- 1, 0), (5, 0), (- 4, 0)$

y切片： $(0, 20)$

ステップ 4

代数 例

代数例