代数例

${(\frac{1}{27})}^{x^{2}} = 9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}}$

ステップ 1

方程式の両辺の対数をとります。

$\ln ({(\frac{1}{27})}^{x^{2}}) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

ステップ 2

$x^{2}$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(\frac{1}{27})}^{x^{2}})$ を展開します。

$x^{2} \ln (\frac{1}{27}) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

ステップ 3

$\ln (\frac{1}{27})$ を $\ln (1) - \ln (27)$ に書き換えます。

$x^{2} (\ln (1) - \ln (27)) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

ステップ 4

$1$ の自然対数は $0$ です。

$x^{2} (0 - \ln (27)) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

ステップ 5

$\ln (27)$ を $\ln (3^{3})$ に書き換えます。

$x^{2} (0 - \ln (3^{3})) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

ステップ 6

$3$ を対数の外に移動させて、 $\ln (3^{3})$ を展開します。

$x^{2} (0 - (3 \ln (3))) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

ステップ 7

$3$ に $- 1$ をかけます。

$x^{2} (0 - 3 \ln (3)) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

ステップ 8

$0$ から $3 \ln (3)$ を引きます。

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

ステップ 9

$\ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$ を $\ln (9^{3 x + 8}) + \ln ({(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$ に書き換えます。

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = \ln (9^{3 x + 8}) + \ln ({(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

ステップ 10

$3 x + 8$ を対数の外に移動させて、 $\ln (9^{3 x + 8})$ を展開します。

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + \ln ({(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

ステップ 11

$x^{2}$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$ を展開します。

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} \ln (\frac{1}{81})$

ステップ 12

$\ln (\frac{1}{81})$ を $\ln (1) - \ln (81)$ に書き換えます。

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (\ln (1) - \ln (81))$

ステップ 13

$1$ の自然対数は $0$ です。

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (0 - \ln (81))$

ステップ 14

$\ln (81)$ を $\ln (3^{4})$ に書き換えます。

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (0 - \ln (3^{4}))$

ステップ 15

$4$ を対数の外に移動させて、 $\ln (3^{4})$ を展開します。

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (0 - (4 \ln (3)))$

ステップ 16

$4$ に $- 1$ をかけます。

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (0 - 4 \ln (3))$

ステップ 17

$0$ から $4 \ln (3)$ を引きます。

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

ステップ 18

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 18.1

左辺を簡約します。

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ステップ 18.1.1

$x^{2} (- 3 \ln (3))$ を簡約します。

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ステップ 18.1.1.1

対数の中の $3$ を移動させて $- 3 \ln (3)$ を簡約します。

$x^{2} (- \ln (3^{3})) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

ステップ 18.1.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$x^{2} (- \ln (27)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

ステップ 18.1.1.3

$x^{2} (- \ln (27))$ の因数を並べ替えます。

$- x^{2} \ln (27) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

ステップ 18.2

右辺を簡約します。

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ステップ 18.2.1

$(3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (- 4 \ln (3))$ を簡約します。

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ステップ 18.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 18.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$- x^{2} \ln (27) = 3 x \ln (9) + 8 \ln (9) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

ステップ 18.2.1.1.2

対数の中の $3$ を移動させて $3 \ln (9)$ を簡約します。

$- x^{2} \ln (27) = x \ln (9^{3}) + 8 \ln (9) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

ステップ 18.2.1.1.3

対数の中の $8$ を移動させて $8 \ln (9)$ を簡約します。

$- x^{2} \ln (27) = x \ln (9^{3}) + \ln (9^{8}) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

ステップ 18.2.1.1.4

各項を簡約します。

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ステップ 18.2.1.1.4.1

$9$ を $3$ 乗します。

$- x^{2} \ln (27) = x \ln (729) + \ln (9^{8}) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

ステップ 18.2.1.1.4.2

$9$ を $8$ 乗します。

$- x^{2} \ln (27) = x \ln (729) + \ln (43046721) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

ステップ 18.2.1.1.5

対数の中の $4$ を移動させて $- 4 \ln (3)$ を簡約します。

$- x^{2} \ln (27) = x \ln (729) + \ln (43046721) + x^{2} (- \ln (3^{4}))$

ステップ 18.2.1.1.6

$3$ を $4$ 乗します。

$- x^{2} \ln (27) = x \ln (729) + \ln (43046721) + x^{2} (- \ln (81))$

ステップ 18.2.1.2

$x \ln (729) + \ln (43046721) + x^{2} (- \ln (81))$ の因数を並べ替えます。

$- x^{2} \ln (27) = x \ln (729) + \ln (43046721) - x^{2} \ln (81)$

ステップ 18.3

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$- x^{2} \ln (27) - x \ln (729) - \ln (43046721) + x^{2} \ln (81) = 0$

ステップ 18.4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 18.5

$a = - \ln (27) + \ln (81)$ 、 $b = - \ln (729)$ 、および $c = - \ln (43046721)$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{\ln (729) \pm \sqrt{{(- \ln (729))}^{2} - 4 \cdot ((- \ln (27) + \ln (81)) \cdot (- \ln (43046721)))}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

ステップ 18.6

分子を簡約します。

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ステップ 18.6.1

積の法則を $- \ln (729)$ に当てはめます。

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} \ln^{2} (729) - 4 \cdot (- \ln (27) + \ln (81)) \cdot (- 1 \ln (43046721))}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

ステップ 18.6.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{1 \ln^{2} (729) - 4 \cdot (- \ln (27) + \ln (81)) \cdot (- 1 \ln (43046721))}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

ステップ 18.6.3

$\ln^{2} (729)$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) - 4 \cdot (- \ln (27) + \ln (81)) \cdot (- 1 \ln (43046721))}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

ステップ 18.6.4

分配則を当てはめます。

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + (- 4 (- \ln (27)) - 4 \ln (81)) \cdot (- 1 \ln (43046721))}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

ステップ 18.6.5

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + (4 \ln (27) - 4 \ln (81)) \cdot (- 1 \ln (43046721))}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

ステップ 18.6.6

分配則を当てはめます。

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + (4 \ln (27) \cdot - 1 - 4 \ln (81) \cdot - 1) \ln (43046721)}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

ステップ 18.6.7

$- 1$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + (- 4 \ln (27) - 4 \ln (81) \cdot - 1) \ln (43046721)}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

ステップ 18.6.8

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + (- 4 \ln (27) + 4 \ln (81)) \ln (43046721)}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

ステップ 18.6.9

分配則を当てはめます。

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) - 4 \ln (27) \ln (43046721) + 4 \ln (81) \ln (43046721)}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

ステップ 18.7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{\ln (729) + \sqrt{\ln^{2} (729) - 4 \ln (27) \ln (43046721) + 4 \ln (81) \ln (43046721)}}{2 (\ln (27) - \ln (81))}, - \frac{\ln (729) - \sqrt{\ln^{2} (729) - 4 \ln (27) \ln (43046721) + 4 \ln (81) \ln (43046721)}}{2 (\ln (27) - \ln (81))}$

ステップ 19

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

10進法形式：

$x = 8, - 2$

代数 例

代数例