代数例

$\log_{9} (\sqrt{10 x + 5}) - \frac{1}{2} = \log_{9} (\sqrt{x + 1})$

ステップ 1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\log_{9} (\sqrt{10 x + 5}) - \log_{9} (\sqrt{x + 1}) = \frac{1}{2}$

ステップ 2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\log_{9} (\frac{\sqrt{10 x + 5}}{\sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

ステップ 3

$5$ を $10 x + 5$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$5$ を $10 x$ で因数分解します。

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x) + 5}}{\sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

ステップ 3.2

$5$ を $5$ で因数分解します。

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x) + 5 (1)}}{\sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

ステップ 3.3

$5$ を $5 (2 x) + 5 (1)$ で因数分解します。

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)}}{\sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

ステップ 4

$\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)}}{\sqrt{x + 1}}$ に $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ をかけます。

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)}}{\sqrt{x + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

ステップ 5

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)}}{\sqrt{x + 1}}$ に $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ をかけます。

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

ステップ 5.2

$\sqrt{x + 1}$ を $1$ 乗します。

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

ステップ 5.3

$\sqrt{x + 1}$ を $1$ 乗します。

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

ステップ 5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1 + 1}}) = \frac{1}{2}$

ステップ 5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{2}}) = \frac{1}{2}$

ステップ 5.6

${\sqrt{x + 1}}^{2}$ を $x + 1$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 1}$ を ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}) = \frac{1}{2}$

ステップ 5.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) = \frac{1}{2}$

ステップ 5.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}) = \frac{1}{2}$

ステップ 5.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.4.1

共通因数を約分します。

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}) = \frac{1}{2}$

ステップ 5.6.4.2

式を書き換えます。

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{x + 1}) = \frac{1}{2}$

ステップ 5.6.5

簡約します。

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{x + 1}) = \frac{1}{2}$

ステップ 6

根の積の法則を使ってまとめます。

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)}}{x + 1}) = \frac{1}{2}$

ステップ 7

対数の定義を利用して $\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)}}{x + 1}) = \frac{1}{2}$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で、 $b$ $\neq$ $1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$9^{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)}}{x + 1}$

ステップ 8

分数を削除するためにたすき掛けします。

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 9^{\frac{1}{2}} (x + 1)$

ステップ 9

$9^{\frac{1}{2}} (x + 1)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + 1)$

ステップ 9.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 3^{2 (\frac{1}{2})} (x + 1)$

ステップ 9.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 3^{2 (\frac{1}{2})} (x + 1)$

ステップ 9.2.2

式を書き換えます。

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 3^{1} (x + 1)$

ステップ 9.3

指数を求めます。

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 3 (x + 1)$

ステップ 9.4

分配則を当てはめます。

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 3 x + 3 \cdot 1$

ステップ 9.5

$3$ に $1$ をかけます。

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 3 x + 3$

ステップ 10

方程式の両辺から $3 x$ を引きます。

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} - 3 x = 3$

ステップ 11

方程式の両辺に $3 x$ を足します。

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 3 + 3 x$

ステップ 12

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)}}^{2} = {(3 + 3 x)}^{2}$

ステップ 13

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)}$ を ${(5 (2 x + 1) (x + 1))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(5 (2 x + 1) (x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 + 3 x)}^{2}$

ステップ 13.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

${({(5 (2 x + 1) (x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.1

両辺を掛けて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.1.1

${({(5 (2 x + 1) (x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(5 (2 x + 1) (x + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 + 3 x)}^{2}$

ステップ 13.2.1.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(5 (2 x + 1) (x + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 + 3 x)}^{2}$

ステップ 13.2.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(5 (2 x + 1) (x + 1))}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

ステップ 13.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

${((5 (2 x) + 5 \cdot 1) (x + 1))}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

ステップ 13.2.1.1.3

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.1.3.1

$2$ に $5$ をかけます。

${((10 x + 5 \cdot 1) (x + 1))}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

ステップ 13.2.1.1.3.2

$5$ に $1$ をかけます。

${((10 x + 5) (x + 1))}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

ステップ 13.2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(10 x + 5) (x + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

${(10 x (x + 1) + 5 (x + 1))}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

ステップ 13.2.1.2.2

分配則を当てはめます。

${(10 x \cdot x + 10 x \cdot 1 + 5 (x + 1))}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

ステップ 13.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

${(10 x \cdot x + 10 x \cdot 1 + 5 x + 5 \cdot 1)}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

ステップ 13.2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.3.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.3.1.1.1

$x$ を移動させます。

${(10 (x \cdot x) + 10 x \cdot 1 + 5 x + 5 \cdot 1)}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

ステップ 13.2.1.3.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

${(10 x^{2} + 10 x \cdot 1 + 5 x + 5 \cdot 1)}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

ステップ 13.2.1.3.1.2

$10$ に $1$ をかけます。

${(10 x^{2} + 10 x + 5 x + 5 \cdot 1)}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

ステップ 13.2.1.3.1.3

$5$ に $1$ をかけます。

${(10 x^{2} + 10 x + 5 x + 5)}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

ステップ 13.2.1.3.2

$10 x$ と $5 x$ をたし算します。

${(10 x^{2} + 15 x + 5)}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

ステップ 13.2.1.4

簡約します。

$10 x^{2} + 15 x + 5 = {(3 + 3 x)}^{2}$

ステップ 13.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.1

${(3 + 3 x)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.1.1

${(3 + 3 x)}^{2}$ を $(3 + 3 x) (3 + 3 x)$ に書き換えます。

$10 x^{2} + 15 x + 5 = (3 + 3 x) (3 + 3 x)$

ステップ 13.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(3 + 3 x) (3 + 3 x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 3 (3 + 3 x) + 3 x (3 + 3 x)$

ステップ 13.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 3 \cdot 3 + 3 (3 x) + 3 x (3 + 3 x)$

ステップ 13.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 3 \cdot 3 + 3 (3 x) + 3 x \cdot 3 + 3 x (3 x)$

ステップ 13.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.1.3.1.1

$3$ に $3$ をかけます。

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 3 (3 x) + 3 x \cdot 3 + 3 x (3 x)$

ステップ 13.3.1.3.1.2

$3$ に $3$ をかけます。

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 9 x + 3 x \cdot 3 + 3 x (3 x)$

ステップ 13.3.1.3.1.3

$3$ に $3$ をかけます。

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 9 x + 9 x + 3 x (3 x)$

ステップ 13.3.1.3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 9 x + 9 x + 3 \cdot 3 x \cdot x$

ステップ 13.3.1.3.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.1.3.1.5.1

$x$ を移動させます。

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 9 x + 9 x + 3 \cdot 3 (x \cdot x)$

ステップ 13.3.1.3.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 9 x + 9 x + 3 \cdot 3 x^{2}$

ステップ 13.3.1.3.1.6

$3$ に $3$ をかけます。

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 9 x + 9 x + 9 x^{2}$

ステップ 13.3.1.3.2

$9 x$ と $9 x$ をたし算します。

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 18 x + 9 x^{2}$

ステップ 14

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.1

方程式の両辺から $18 x$ を引きます。

$10 x^{2} + 15 x + 5 - 18 x = 9 + 9 x^{2}$

ステップ 14.1.2

方程式の両辺から $9 x^{2}$ を引きます。

$10 x^{2} + 15 x + 5 - 18 x - 9 x^{2} = 9$

ステップ 14.1.3

$10 x^{2}$ から $9 x^{2}$ を引きます。

$x^{2} + 15 x + 5 - 18 x = 9$

ステップ 14.1.4

$15 x$ から $18 x$ を引きます。

$x^{2} - 3 x + 5 = 9$

ステップ 14.2

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$x^{2} - 3 x + 5 - 9 = 0$

ステップ 14.3

$5$ から $9$ を引きます。

$x^{2} - 3 x - 4 = 0$

ステップ 14.4

たすき掛けを利用して $x^{2} - 3 x - 4$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 4$ で、その和が $- 3$ です。

$- 4, 1$

ステップ 14.4.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 4) (x + 1) = 0$

ステップ 14.5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 14.6

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.6.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 14.6.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 14.7

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.7.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 14.7.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 14.8

最終解は $(x - 4) (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 4, - 1$

ステップ 15

$\log_{9} (\sqrt{10 x + 5}) - \frac{1}{2} = \log_{9} (\sqrt{x + 1})$ が真にならない解を除外します。

$x = 4$

代数 例

代数例