代数例

$\cos^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) - \cos (x) + 2 = 0$

ステップ 1

$\cos^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) - \cos (x) + 2$ を因数分解します。

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ステップ 1.1

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\cos^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) - \cos (x) + 2 = 0$

ステップ 1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\cos^{2} (x) (\cos (x) - 2) - (\cos (x) - 2) = 0$

ステップ 1.2

最大公約数 $\cos (x) - 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(\cos (x) - 2) (\cos^{2} (x) - 1) = 0$

ステップ 1.3

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$(\cos (x) - 2) (\cos^{2} (x) - 1^{2}) = 0$

ステップ 1.4

因数分解。

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ステップ 1.4.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \cos (x)$ であり、 $b = 1$ です。

$(\cos (x) - 2) ((\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)) = 0$

ステップ 1.4.2

不要な括弧を削除します。

$(\cos (x) - 2) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\cos (x) - 2 = 0$

$\cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

ステップ 3

$\cos (x) - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$\cos (x) - 2$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (x) - 2 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $\cos (x) - 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$\cos (x) = 2$

ステップ 3.2.2

余弦の値域は $- 1 \leq y \leq 1$ です。 $2$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 4

$\cos (x) + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$\cos (x) + 1$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (x) + 1 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $\cos (x) + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\cos (x) = - 1$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (- 1)$

ステップ 4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

$\arccos (- 1)$ の厳密値は $π$ です。

$x = π$

ステップ 4.2.4

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π - π$

ステップ 4.2.5

$2 π$ から $π$ を引きます。

$x = π$

ステップ 4.2.6

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 4.2.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 4.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 4.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 4.2.6.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 4.2.7

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

$\cos (x) - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$\cos (x) - 1$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (x) - 1 = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $\cos (x) - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$\cos (x) = 1$

ステップ 5.2.2

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (1)$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$\arccos (1)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 5.2.4

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - 0$

ステップ 5.2.5

$2 π$ から $0$ を引きます。

$x = 2 π$

ステップ 5.2.6

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 5.2.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 5.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 5.2.6.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 5.2.7

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

最終解は $(\cos (x) - 2) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

答えをまとめます。

$x = π n$ 、任意の整数 $n$

代数 例

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