代数例

$2^{x} + 2^{5 - x} = 12$

ステップ 1

$2^{5 - x}$ を $2^{5} \cdot 2^{- x}$ に書き換えます。

$2^{x} + 2^{5} \cdot 2^{- x} = 12$

ステップ 2

$2^{- x}$ を累乗法として書き換えます。

$2^{x} + 2^{5} \cdot {(2^{x})}^{- 1} = 12$

ステップ 3

$u$ を $2^{x}$ に代入します。

$u + 2^{5} \cdot u^{- 1} = 12$

ステップ 4

各項を簡約します。

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ステップ 4.1

$2$ を $5$ 乗します。

$u + 32 \cdot u^{- 1} = 12$

ステップ 4.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$u + 32 \cdot \frac{1}{u} = 12$

ステップ 4.3

$32$ と $\frac{1}{u}$ をまとめます。

$u + \frac{32}{u} = 12$

ステップ 5

$u$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 5.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, u, 1$

ステップ 5.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$u$

ステップ 5.2

$u + \frac{32}{u} = 12$ の各項に $u$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 5.2.1

$u + \frac{32}{u} = 12$ の各項に $u$ を掛けます。

$u \cdot u + \frac{32}{u} u = 12 u$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1.1

$u$ に $u$ をかけます。

$u^{2} + \frac{32}{u} u = 12 u$

ステップ 5.2.2.1.2

$u$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$u^{2} + \frac{32}{u} u = 12 u$

ステップ 5.2.2.1.2.2

式を書き換えます。

$u^{2} + 32 = 12 u$

ステップ 5.3

方程式を解きます。

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ステップ 5.3.1

方程式の両辺から $12 u$ を引きます。

$u^{2} + 32 - 12 u = 0$

ステップ 5.3.2

たすき掛けを利用して $u^{2} + 32 - 12 u$ を因数分解します。

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ステップ 5.3.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $32$ で、その和が $- 12$ です。

$- 8, - 4$

ステップ 5.3.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 8) (u - 4) = 0$

ステップ 5.3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$u - 8 = 0$

$u - 4 = 0$

ステップ 5.3.4

$u - 8$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 5.3.4.1

$u - 8$ が $0$ に等しいとします。

$u - 8 = 0$

ステップ 5.3.4.2

方程式の両辺に $8$ を足します。

$u = 8$

ステップ 5.3.5

$u - 4$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 5.3.5.1

$u - 4$ が $0$ に等しいとします。

$u - 4 = 0$

ステップ 5.3.5.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$u = 4$

ステップ 5.3.6

最終解は $(u - 8) (u - 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = 8, 4$

ステップ 6

$8$ を $u = 2^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$8 = 2^{x}$

ステップ 7

$8 = 2^{x}$ を解きます。

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ステップ 7.1

方程式を $2^{x} = 8$ として書き換えます。

$2^{x} = 8$

ステップ 7.2

すべての方程式に等しい基数を持つ同等の式を作成します。

$2^{x} = 2^{3}$

ステップ 7.3

底が同じなので、2つの式は指数も等しい場合に限り等しいです。

$x = 3$

ステップ 8

$4$ を $u = 2^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$4 = 2^{x}$

ステップ 9

$4 = 2^{x}$ を解きます。

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ステップ 9.1

方程式を $2^{x} = 4$ として書き換えます。

$2^{x} = 4$

ステップ 9.2

すべての方程式に等しい基数を持つ同等の式を作成します。

$2^{x} = 2^{2}$

ステップ 9.3

底が同じなので、2つの式は指数も等しい場合に限り等しいです。

$x = 2$

ステップ 10

方程式が真になるような解をリストします。

$x = 3, 2$

代数 例

代数例