代数例

$\log_{125} (x) < \frac{1}{3}$

ステップ 1

不等式を等式に変換します。

$\log_{125} (x) = \frac{1}{3}$

ステップ 2

方程式を解きます。

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ステップ 2.1

対数の定義を利用して $\log_{125} (x) = \frac{1}{3}$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$125^{\frac{1}{3}} = x$

ステップ 2.2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.2.1

方程式を $x = 125^{\frac{1}{3}}$ として書き換えます。

$x = 125^{\frac{1}{3}}$

ステップ 2.2.2

$125^{\frac{1}{3}}$ を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

式を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1.1

$125$ を $5^{3}$ に書き換えます。

$x = {(5^{3})}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 2.2.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = 5^{3 (\frac{1}{3})}$

ステップ 2.2.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$x = 5^{3 (\frac{1}{3})}$

ステップ 2.2.2.2.2

式を書き換えます。

$x = 5^{1}$

ステップ 2.2.2.3

指数を求めます。

$x = 5$

ステップ 3

$\log_{125} (x) - \frac{1}{3}$ の定義域を求めます。

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ステップ 3.1

$\log_{125} (x)$ の偏角を $0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

$x > 0$

ステップ 3.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(0, \infty)$

ステップ 4

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 0$

$0 < x < 5$

$x > 5$

ステップ 5

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 5.1

区間 $x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 5.1.1

区間 $x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 5.1.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$\log_{125} (- 2) < \frac{1}{3}$

ステップ 5.1.3

不等式が真か判定します。

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ステップ 5.1.3.1

未定義なので、方程式は解くことができません。

$未定義$

ステップ 5.1.3.2

左辺に解はありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 5.2

区間 $0 < x < 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 5.2.1

区間 $0 < x < 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 5.2.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$\log_{125} (2) < \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.3

左辺 $0.14355885$ は右辺 $0.\overline{3}$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 5.3

区間 $x > 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 5.3.1

区間 $x > 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 8$

ステップ 5.3.2

$x$ を元の不等式の $8$ で置き換えます。

$\log_{125} (8) < \frac{1}{3}$

ステップ 5.3.3

左辺 $0.43067655$ は右辺 $0.\overline{3}$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 5.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 0$ 偽

$0 < x < 5$ 真

$x > 5$ 偽

$x < 0$ 偽

$0 < x < 5$ 真

$x > 5$ 偽

ステップ 6

解はすべての真の区間からなります。

$0 < x < 5$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$0 < x < 5$

区間記号：

$(0, 5)$

ステップ 8

代数 例

代数例