代数例

$f (x) = {(3 x - 1)}^{3}$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

$u = 3 x - 1$ とします。次に $d u = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = 3 x - 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$3 x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x - 1]$

ステップ 2.1.2

総和則では、 $3 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$3 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.1.4.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$3 + 0$

ステップ 2.1.4.2

$3$ と $0$ をたし算します。

$3$

ステップ 2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int u^{3} \frac{1}{3} d u$

ステップ 3

$u^{3}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\int \frac{u^{3}}{3} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int u^{3} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{3}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{4} u^{4}$ です。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$ を $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\frac{1}{3 \cdot 4} u^{4} + C$

ステップ 6.2.2

$3$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{12} u^{4} + C$

ステップ 7

$u$ のすべての発生を $3 x - 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{12} {(3 x - 1)}^{4} + C$

ステップ 8

関数の微分係数の積分から導かれるならば関数 $F$ です。これは微積分の基本定理によって有効です。

$F (x) = \frac{1}{12} \cdot {(3 x - 1)}^{4} + C$

代数 例

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