代数例

$y^{3} - 27 = 9 y^{2} - 27 y$

ステップ 1

$y$ について解きます。

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ステップ 1.1

$y$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$9 y^{2} - 27 y = y^{3} - 27$

ステップ 1.2

方程式の両辺から $y^{3}$ を引きます。

$9 y^{2} - 27 y - y^{3} = - 27$

ステップ 1.3

方程式の両辺に $27$ を足します。

$9 y^{2} - 27 y - y^{3} + 27 = 0$

ステップ 1.4

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.4.1

項を並べ替えます。

$- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27 = 0$

ステップ 1.4.2

有理根検定を用いて $- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27$ を因数分解します。

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ステップ 1.4.2.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 27, \pm 3, \pm 9$

$q = \pm 1$

ステップ 1.4.2.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 27, \pm 3, \pm 9$

ステップ 1.4.2.3

$3$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $3$ は多項式の根です。

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ステップ 1.4.2.3.1

$3$ を多項式に代入します。

$- 3^{3} + 9 \cdot 3^{2} - 27 \cdot 3 + 27$

ステップ 1.4.2.3.2

$3$ を $3$ 乗します。

$- 1 \cdot 27 + 9 \cdot 3^{2} - 27 \cdot 3 + 27$

ステップ 1.4.2.3.3

$- 1$ に $27$ をかけます。

$- 27 + 9 \cdot 3^{2} - 27 \cdot 3 + 27$

ステップ 1.4.2.3.4

$3$ を $2$ 乗します。

$- 27 + 9 \cdot 9 - 27 \cdot 3 + 27$

ステップ 1.4.2.3.5

$9$ に $9$ をかけます。

$- 27 + 81 - 27 \cdot 3 + 27$

ステップ 1.4.2.3.6

$- 27$ と $81$ をたし算します。

$54 - 27 \cdot 3 + 27$

ステップ 1.4.2.3.7

$- 27$ に $3$ をかけます。

$54 - 81 + 27$

ステップ 1.4.2.3.8

$54$ から $81$ を引きます。

$- 27 + 27$

ステップ 1.4.2.3.9

$- 27$ と $27$ をたし算します。

$0$

ステップ 1.4.2.4

$3$ は既知の根なので、多項式を $y - 3$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27}{y - 3}$

ステップ 1.4.2.5

$- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27$ を $y - 3$ で割ります。

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ステップ 1.4.2.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$y$

$3$

$y^{3}$

$9 y^{2}$

$27 y$

$27$

ステップ 1.4.2.5.2

被除数 $- y^{3}$ の最高次項を除数 $y$ の最高次項で割ります。

				-	$y^{2}$
	$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$

ステップ 1.4.2.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$y^{2}$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$

ステップ 1.4.2.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $- y^{3} + 3 y^{2}$ の符号をすべて変更します。

			-	$y^{2}$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$

ステップ 1.4.2.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$y^{2}$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$

ステップ 1.4.2.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

			-	$y^{2}$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$

ステップ 1.4.2.5.7

被除数 $6 y^{2}$ の最高次項を除数 $y$ の最高次項で割ります。

			-	$y^{2}$	+	$6 y$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$

ステップ 1.4.2.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$y^{2}$	+	$6 y$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					+	$6 y^{2}$	-	$18 y$

ステップ 1.4.2.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $6 y^{2} - 18 y$ の符号をすべて変更します。

			-	$y^{2}$	+	$6 y$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$

ステップ 1.4.2.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$y^{2}$	+	$6 y$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$

ステップ 1.4.2.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

			-	$y^{2}$	+	$6 y$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$

ステップ 1.4.2.5.12

被除数 $- 9 y$ の最高次項を除数 $y$ の最高次項で割ります。

			-	$y^{2}$	+	$6 y$	-	$9$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$

ステップ 1.4.2.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$y^{2}$	+	$6 y$	-	$9$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$
							-	$9 y$	+	$27$

ステップ 1.4.2.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 9 y + 27$ の符号をすべて変更します。

			-	$y^{2}$	+	$6 y$	-	$9$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$
							+	$9 y$	-	$27$

ステップ 1.4.2.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$y^{2}$	+	$6 y$	-	$9$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$
							+	$9 y$	-	$27$
										$0$

ステップ 1.4.2.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$- y^{2} + 6 y - 9$

ステップ 1.4.2.6

$- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27$ を因数の集合として書き換えます。

$(y - 3) (- y^{2} + 6 y - 9) = 0$

ステップ 1.4.3

因数分解。

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ステップ 1.4.3.1

群による因数分解。

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ステップ 1.4.3.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot - 9 = 9$ で和が $b = 6$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 1.4.3.1.1.1

$6$ を $6 y$ で因数分解します。

$(y - 3) (- y^{2} + 6 (y) - 9) = 0$

ステップ 1.4.3.1.1.2

$6$ を $3$ プラス $3$ に書き換える

$(y - 3) (- y^{2} + (3 + 3) y - 9) = 0$

ステップ 1.4.3.1.1.3

分配則を当てはめます。

$(y - 3) (- y^{2} + 3 y + 3 y - 9) = 0$

ステップ 1.4.3.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.4.3.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(y - 3) ((- y^{2} + 3 y) + 3 y - 9) = 0$

ステップ 1.4.3.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(y - 3) (y (- y + 3) - 3 (- y + 3)) = 0$

ステップ 1.4.3.1.3

最大公約数 $- y + 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(y - 3) ((- y + 3) (y - 3)) = 0$

ステップ 1.4.3.2

不要な括弧を削除します。

$(y - 3) (- y + 3) (y - 3) = 0$

ステップ 1.4.4

指数をまとめます。

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ステップ 1.4.4.1

$- 1$ を $y$ で因数分解します。

$(- 1 (- y) - 3) (- y + 3) (y - 3) = 0$

ステップ 1.4.4.2

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$(- 1 (- y) - 1 \cdot 3) (- y + 3) (y - 3) = 0$

ステップ 1.4.4.3

$- 1$ を $- 1 (- y) - 1 (3)$ で因数分解します。

$- 1 (- y + 3) (- y + 3) (y - 3) = 0$

ステップ 1.4.4.4

$- y + 3$ を $1$ 乗します。

$- 1 ((- y + 3) (- y + 3)) (y - 3) = 0$

ステップ 1.4.4.5

$- y + 3$ を $1$ 乗します。

$- 1 ((- y + 3) (- y + 3)) (y - 3) = 0$

ステップ 1.4.4.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 1 {(- y + 3)}^{1 + 1} (y - 3) = 0$

ステップ 1.4.4.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 1 {(- y + 3)}^{2} (y - 3) = 0$

ステップ 1.4.4.8

$- 1$ を $- y$ で因数分解します。

$- 1 {(- (y) + 3)}^{2} (y - 3) = 0$

ステップ 1.4.4.9

$3$ を $- 1 (- 3)$ に書き換えます。

$- 1 {(- (y) - 1 \cdot - 3)}^{2} (y - 3) = 0$

ステップ 1.4.4.10

$- 1$ を $- (y) - 1 (- 3)$ で因数分解します。

$- 1 {(- (y - 3))}^{2} (y - 3) = 0$

ステップ 1.4.4.11

$- (y - 3)$ を $- 1 (y - 3)$ に書き換えます。

$- 1 {(- 1 (y - 3))}^{2} (y - 3) = 0$

ステップ 1.4.4.12

積の法則を $- 1 (y - 3)$ に当てはめます。

$- 1 ({(- 1)}^{2} {(y - 3)}^{2}) (y - 3) = 0$

ステップ 1.4.4.13

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- 1 (1 {(y - 3)}^{2}) (y - 3) = 0$

ステップ 1.4.4.14

${(y - 3)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$- 1 {(y - 3)}^{2} (y - 3) = 0$

ステップ 1.4.4.15

$y - 3$ を $1$ 乗します。

$- 1 ((y - 3) {(y - 3)}^{2}) = 0$

ステップ 1.4.4.16

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 1 {(y - 3)}^{1 + 2} = 0$

ステップ 1.4.4.17

$1$ と $2$ をたし算します。

$- 1 {(y - 3)}^{3} = 0$

ステップ 1.5

$- 1 {(y - 3)}^{3} = 0$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.5.1

$- 1 {(y - 3)}^{3} = 0$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- 1 {(y - 3)}^{3}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 1.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.5.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{{(y - 3)}^{3}}{1} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 1.5.2.2

${(y - 3)}^{3}$ を $1$ で割ります。

${(y - 3)}^{3} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 1.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.5.3.1

$0$ を $- 1$ で割ります。

${(y - 3)}^{3} = 0$

ステップ 1.6

$y - 3$ が $0$ に等しいとします。

$y - 3 = 0$

ステップ 1.7

方程式の両辺に $3$ を足します。

$y = 3$

ステップ 2

$9 y^{2} - 27 y$ が $0$ に等しいとします。

$3 = 0$

ステップ 3

$3 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

代数 例

代数例