代数例

$f (x) = \frac{x^{2} + 6 x + 9}{x^{2} - 9}$

ステップ 1

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 1.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$f (x) = \frac{x^{2} + 6 x + 3^{2}}{x^{2} - 9}$

ステップ 1.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

ステップ 1.3

多項式を書き換えます。

$f (x) = \frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}}{x^{2} - 9}$

ステップ 1.4

$a = x$ と $b = 3$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$f (x) = \frac{{(x + 3)}^{2}}{x^{2} - 9}$

ステップ 2

$x^{2} - 9$ を因数分解します。

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ステップ 2.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$f (x) = \frac{{(x + 3)}^{2}}{x^{2} - 3^{2}}$

ステップ 2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$f (x) = \frac{{(x + 3)}^{2}}{(x + 3) (x - 3)}$

ステップ 3

${(x + 3)}^{2}$ と $x + 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1

$x + 3$ を ${(x + 3)}^{2}$ で因数分解します。

$f (x) = \frac{(x + 3) (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)}$

ステップ 3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

共通因数を約分します。

$f (x) = \frac{(x + 3) (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)}$

ステップ 3.2.2

式を書き換えます。

$f (x) = \frac{x + 3}{x - 3}$

ステップ 4

グラフ内の穴を求めるために、約分された分母の因数を見ます。

$x + 3$

ステップ 5

穴の座標を求めるために、約分した各因数が $0$ に等しいとして解き、 $\frac{x + 3}{x - 3}$ に戻し入れます。

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ステップ 5.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 5.3

$- 3$ を $\frac{x + 3}{x - 3}$ の中の $x$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.3.1

$- 3$ を $x$ に代入し、穴の $y$ 座標を求めます。

$\frac{- 3 + 3}{- 3 - 3}$

ステップ 5.3.2

簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$- 3 + 3$ と $- 3 - 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$\frac{3 (- 1) + 3}{- 3 - 3}$

ステップ 5.3.2.1.2

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot - 1 + 3 \cdot 1}{- 3 - 3}$

ステップ 5.3.2.1.3

$3$ を $3 \cdot - 1 + 3 \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot (- 1 + 1)}{- 3 - 3}$

ステップ 5.3.2.1.4

共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.4.1

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot (- 1 + 1)}{3 (- 1) - 3}$

ステップ 5.3.2.1.4.2

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot (- 1 + 1)}{3 \cdot - 1 + 3 \cdot - 1}$

ステップ 5.3.2.1.4.3

$3$ を $3 \cdot - 1 + 3 \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot (- 1 + 1)}{3 \cdot (- 1 - 1)}$

ステップ 5.3.2.1.4.4

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot (- 1 + 1)}{3 \cdot (- 1 - 1)}$

ステップ 5.3.2.1.4.5

式を書き換えます。

$\frac{- 1 + 1}{- 1 - 1}$

ステップ 5.3.2.2

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{0}{- 1 - 1}$

ステップ 5.3.2.3

$- 1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{- 2}$

ステップ 5.3.2.4

$0$ を $- 2$ で割ります。

$0$

ステップ 5.4

約分した因数のいずれかが $0$ に等しいときのグラフ内の穴が点です。

$(- 3, 0)$

ステップ 6

代数 例

代数例