代数例

$y = x + 2 \sqrt{x - 1}$

ステップ 1

方程式を $x + 2 \sqrt{x - 1} = y$ として書き換えます。

$x + 2 \sqrt{x - 1} = y$

ステップ 2

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$2 \sqrt{x - 1} = y - x$

ステップ 3

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${(2 \sqrt{x - 1})}^{2} = {(y - x)}^{2}$

ステップ 4

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x - 1}$ を ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y - x)}^{2}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

${(2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

積の法則を $2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

$2^{2} {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y - x)}^{2}$

ステップ 4.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$4 {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y - x)}^{2}$

ステップ 4.2.1.3

${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y - x)}^{2}$

ステップ 4.2.1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$4 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y - x)}^{2}$

ステップ 4.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$4 {(x - 1)}^{1} = {(y - x)}^{2}$

ステップ 4.2.1.4

簡約します。

$4 (x - 1) = {(y - x)}^{2}$

ステップ 4.2.1.5

分配則を当てはめます。

$4 x + 4 \cdot - 1 = {(y - x)}^{2}$

ステップ 4.2.1.6

$4$ に $- 1$ をかけます。

$4 x - 4 = {(y - x)}^{2}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

${(y - x)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1

${(y - x)}^{2}$ を $(y - x) (y - x)$ に書き換えます。

$4 x - 4 = (y - x) (y - x)$

ステップ 4.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(y - x) (y - x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$4 x - 4 = y (y - x) - x (y - x)$

ステップ 4.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$4 x - 4 = y \cdot y + y (- x) - x (y - x)$

ステップ 4.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$4 x - 4 = y \cdot y + y (- x) - x y - x (- x)$

ステップ 4.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.3.1.1

$y$ に $y$ をかけます。

$4 x - 4 = y^{2} + y (- x) - x y - x (- x)$

ステップ 4.3.1.3.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 x - 4 = y^{2} - y x - x y - x (- x)$

ステップ 4.3.1.3.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 x - 4 = y^{2} - y x - x y - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

ステップ 4.3.1.3.1.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.3.1.4.1

$x$ を移動させます。

$4 x - 4 = y^{2} - y x - x y - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

ステップ 4.3.1.3.1.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$4 x - 4 = y^{2} - y x - x y - 1 \cdot - 1 x^{2}$

ステップ 4.3.1.3.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$4 x - 4 = y^{2} - y x - x y + 1 x^{2}$

ステップ 4.3.1.3.1.6

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$4 x - 4 = y^{2} - y x - x y + x^{2}$

ステップ 4.3.1.3.2

$- y x$ から $x y$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.3.2.1

$y$ を移動させます。

$4 x - 4 = y^{2} - x y - x y + x^{2}$

ステップ 4.3.1.3.2.2

$- x y$ から $x y$ を引きます。

$4 x - 4 = y^{2} - 2 x y + x^{2}$

ステップ 5

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$x$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$y^{2} - 2 x y + x^{2} = 4 x - 4$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $4 x$ を引きます。

$y^{2} - 2 x y + x^{2} - 4 x = - 4$

ステップ 5.3

方程式の両辺に $4$ を足します。

$y^{2} - 2 x y + x^{2} - 4 x + 4 = 0$

ステップ 5.4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 5.5

$a = 1$ 、 $b = - 2 y - 4$ 、および $c = y^{2} + 4$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- (- 2 y - 4) \pm \sqrt{{(- 2 y - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (y^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1.1

分配則を当てはめます。

$x = \frac{- (- 2 y) + 4 \pm \sqrt{{(- 2 y - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{{(- 2 y - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.3

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{{(- 2 y - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.4

括弧を付けます。

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{{(- 2 y - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (y^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.5

$u = 1 \cdot (y^{2} + 4)$ とします。 $u$ を $1 \cdot (y^{2} + 4)$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1.5.1

${(- 2 y - 4)}^{2}$ を $(- 2 y - 4) (- 2 y - 4)$ に書き換えます。

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{(- 2 y - 4) (- 2 y - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.5.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- 2 y - 4) (- 2 y - 4)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1.5.2.1

分配則を当てはめます。

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{- 2 y (- 2 y - 4) - 4 (- 2 y - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.5.2.2

分配則を当てはめます。

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{- 2 y (- 2 y) - 2 y \cdot - 4 - 4 (- 2 y - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.5.2.3

分配則を当てはめます。

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{- 2 y (- 2 y) - 2 y \cdot - 4 - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.5.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1.5.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 y \cdot y) - 2 y \cdot - 4 - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.5.3.1.2

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1.5.3.1.2.1

$y$ を移動させます。

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (y \cdot y)) - 2 y \cdot - 4 - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.5.3.1.2.2

$y$ に $y$ をかけます。

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 y^{2}) - 2 y \cdot - 4 - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.5.3.1.3

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 y^{2} - 2 y \cdot - 4 - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.5.3.1.4

$- 4$ に $- 2$ をかけます。

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 y^{2} + 8 y - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.5.3.1.5

$- 2$ に $- 4$ をかけます。

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 y^{2} + 8 y + 8 y - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.5.3.1.6

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 y^{2} + 8 y + 8 y + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.5.3.2

$8 y$ と $8 y$ をたし算します。

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 y^{2} + 16 y + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 y^{2} + 16 y + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.6

$4$ を $4 y^{2} + 16 y + 16 - 4 u$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1.6.1

$4$ を $4 y^{2}$ で因数分解します。

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 16 y + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.6.2

$4$ を $16 y$ で因数分解します。

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (4 y) + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.6.3

$4$ を $16$ で因数分解します。

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (4 y) + 4 (4) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.6.4

$4$ を $- 4 u$ で因数分解します。

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (4 y) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.6.5

$4$ を $4 (y^{2}) + 4 (4 y)$ で因数分解します。

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.6.6

$4$ を $4 (y^{2} + 4 y) + 4 (4)$ で因数分解します。

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y + 4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.6.7

$4$ を $4 (y^{2} + 4 y + 4) + 4 (- u)$ で因数分解します。

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y + 4 - u)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.7

$u$ のすべての発生を $1 \cdot (y^{2} + 4)$ で置き換えます。

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y + 4 - (1 \cdot (y^{2} + 4)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1.8.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1.8.1.1

$y^{2} + 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y + 4 - (y^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.8.1.2

分配則を当てはめます。

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y + 4 - y^{2} - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.8.1.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y + 4 - y^{2} - 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.8.2

$y^{2} + 4 y + 4 - y^{2} - 4$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1.8.2.1

$y^{2}$ から $y^{2}$ を引きます。

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (4 y + 4 + 0 - 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.8.2.2

$4 y + 4$ と $0$ をたし算します。

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (4 y + 4 - 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.8.2.3

$4$ から $4$ を引きます。

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (4 y + 0)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.8.2.4

$4 y$ と $0$ をたし算します。

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (4 y)}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 \cdot (4 y)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.9

$4$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{16 y}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.10

$16 y$ を ${(2^{2})}^{2} y$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1.10.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4^{2} y}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.10.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} y}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.11

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 y + 4 \pm 2^{2} \sqrt{y}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.12

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 y + 4 \pm 4 \sqrt{y}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 y + 4 \pm 4 \sqrt{y}}{2}$

ステップ 5.7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = y + 2 + 2 \sqrt{y}$

$x = y + 2 - 2 \sqrt{y}$

$x = y + 2 + 2 \sqrt{y}$

$x = y + 2 - 2 \sqrt{y}$

代数 例

代数例